Q4.( 2,5 pontos) Considere \underline{R} a região delimitada pelas parábolas y=t^{2}-d^{2} e y=d^{2}-t^{2}. Para qual valor de d a área de R é igual a 16?
Passo 1
O enunciado dá a região \underline{R} limitada por duas parábolas:
y = t^{2} - d^{2} \qquad\text{e}\qquad y = d^{2} - t^{2}.
A pergunta é: para qual valor de d a área de \underline{R} é igual a \,16?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As duas curvas são dadas explicitamente em termos de t e d.
A região é a parte do plano limitada por essas duas curvas.
Queremos o(s) valor(es) de d tal que a área de \underline{R} valha \,16.
Passo 2
Primeiro encontramos os pontos de interseção das duas parábolas, porque eles dão os limites horizontais da região. Igualamos as duas expressões de y:
t^{2}-d^{2}=d^{2}-t^{2}.
Resolvendo essa equação:
2t^{2}=2d^{2}\quad\Rightarrow\quad t^{2}=d^{2}\quad\Rightarrow\quad t=\pm d.
Em cada interseção o valor de y é
y=d^{2}-d^{2}=0.
Logo as interseções são os pontos (t,y)=(d,0) e (t,y)=(-d,0).
Passo 3
Identificamos qual curva está acima da outra entre os pontos de interseção. Para um valor qualquer de t entre -d e d, comparemos os valores:
No intervalo -d\le t\le d temos d^{2}-t^{2}\ge 0, portanto d^{2}-t^{2} é a curva superior e t^{2}-d^{2} é a curva inferior. Por exemplo, em t=0 as alturas são d^{2} (superior) e -d^{2} (inferior).
Passo 4
A área entre duas curvas y_{\text{top}}(t) e y_{\text{bot}}(t) no intervalo a\le t\le b é dada por