Q4.( 2,5 pontos) Considere \underline{R} a região delimitada pelas parábolas y=t^{2}-d^{2} e y=d^{2}-t^{2}. Para qual valor de d a área de R é igual a 16?

Passo 1

O enunciado dá a região \underline{R} limitada por duas parábolas:
y = t^{2} - d^{2} \qquad\text{e}\qquad y = d^{2} - t^{2}.
A pergunta é: para qual valor de d a área de \underline{R} é igual a \,16?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As duas curvas são dadas explicitamente em termos de t e d.
  • A região é a parte do plano limitada por essas duas curvas.
  • Queremos o(s) valor(es) de d tal que a área de \underline{R} valha \,16.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção das duas parábolas, porque eles dão os limites horizontais da região. Igualamos as duas expressões de y:
t^{2}-d^{2}=d^{2}-t^{2}.
Resolvendo essa equação:
2t^{2}=2d^{2}\quad\Rightarrow\quad t^{2}=d^{2}\quad\Rightarrow\quad t=\pm d.
Em cada interseção o valor de y é
y=d^{2}-d^{2}=0.
Logo as interseções são os pontos (t,y)=(d,0) e (t,y)=(-d,0).

Passo 3

Identificamos qual curva está acima da outra entre os pontos de interseção. Para um valor qualquer de t entre -d e d, comparemos os valores:
\bigl(d^{2}-t^{2}\bigr)-\bigl(t^{2}-d^{2}\bigr)=2\bigl(d^{2}-t^{2}\bigr).
No intervalo -d\le t\le d temos d^{2}-t^{2}\ge 0, portanto d^{2}-t^{2} é a curva superior e t^{2}-d^{2} é a curva inferior. Por exemplo, em t=0 as alturas são d^{2} (superior) e -d^{2} (inferior).

Passo 4

A área entre duas curvas y_{\text{top}}(t) e y_{\text{bot}}(t) no intervalo a\le t\le b é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(t)-y_{\text{bot}}(t)\bigr)\,dt.Á
Aqui y_{\text{top}}(t)=d^{2}-t^{2}, y_{\text{bot}}(t)=t^{2}-d^{2} e os limites são a=-d, b=d. Assim
\text{Área}=\int_{-d}^{d}\bigl[(d^{2}-t^{2})-(t^{2}-d^{2})\bigr]\,dt =\int_{-d}^{d}2\bigl(d^{2}-t^{2}\bigr)\,dt.Á

Passo 5

Aproveitamos a simetria: a função d^{2}-t^{2} é par (isto é, vale o mesmo para t e -t), então a integral de -d a d pode ser simplificada. Escrevemos
\text{Área}=2\int_{-d}^{d}\bigl(d^{2}-t^{2}\bigr)\,dt =4\int_{0}^{d}\bigl(d^{2}-t^{2}\bigr)\,dt.Á
(Explicação rápida: havia um fator 2 já fora da integral, e a integral de -d a d de uma função par vale duas vezes a integral de 0 a d.)

Passo 6

Agora calculamos a integral explícita. Primeiro a primitiva de d^{2}-t^{2} em relação a t é
\int\bigl(d^{2}-t^{2}\bigr)\,dt = d^{2}t-\frac{t^{3}}{3}.
Avaliando de 0 a d:
\int_{0}^{d}\bigl(d^{2}-t^{2}\bigr)\,dt = \biggl(d^{2}t-\frac{t^{3}}{3}\biggr)\Big|_{0}^{d} = d^{3}-\frac{d^{3}}{3}=\frac{2}{3}d^{3}.
Portanto, usando o fator 4 do passo anterior,
\text{Área}=4\cdot\frac{2}{3}d^{3}=\frac{8}{3}d^{3}.Á

Passo 7

Agora impondo que a área seja \,16, resolvemos
\frac{8}{3}d^{3}=16.
Isolando d^{3}:
d^{3}=16\cdot\frac{3}{8}=6.
Como d^{3}=6, o valor real de interesse (tomando d\ge 0 já que as curvas dependem de d^{2} e a região é determinada pelo módulo de d) é
d=\sqrt[3]{6}.
Observação: d negativo com o mesmo valor absoluto gera as mesmas curvas, mas convencionamos d\ge 0 e apresentamos a raiz cúbica real positiva.

Resposta

d=\sqrt[3]{6}

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