Q3.(2,5 pontos) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto de
e .
Observação prática: para queseja real normalmente exige-se , mas aqui vamos tratar a integral simbolicamente usando substituição; o resultado será válido onde a expressão sob a raiz for apropriada.
Passo 2
Escolha de método: substituição direta. Explicação didática da ideia:
- Quando vemos uma função composta do tipo
multiplicada por , é natural tentar , porque a derivada de aparece (à parte de sinal) como , e isso permite transformar toda a integral em termos de .
Definimos a substituição:
Agora calculamos o diferencial de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
o que implica, isolando
ou
:
Aqui está a peça-chave:
no integrando será substituído por
, e
vira
.
Passo 3
Fazer a substituição na integral (mostrar passo a passo):
Começamos com
Começamos com
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Integrar usando a regra do poder (power rule). Lembrete da fórmula e explicação:
- Para
vale
Aqui
. Aplicando:
Simplificando a divisão por
(dividir por
equivale a multiplicar por
):
Passo 5
Voltar à variável original
(back-substitution) e apresentar o resultado final:
Como , substituímos de volta:
Como
Passo 6
Verificação rápida (derivação do resultado para checar): diferenciar o resultado e confirmar que volta ao integrando.
Começando por , usar a regra da cadeia:
Começando por
Como
, obtemos
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.