Q3.(2,5 pontos) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen} \theta \sqrt{\cos \theta} d \theta.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \sin\theta\\ \sqrt{\cos\theta}\,d\theta.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável de integração é \theta.
  • O integrando é o produto de \sin\theta e \sqrt{\cos\theta}.
    Observação prática: para que \sqrt{\cos\theta} seja real normalmente exige-se \cos\theta\ge 0, mas aqui vamos tratar a integral simbolicamente usando substituição; o resultado será válido onde a expressão sob a raiz for apropriada.

Passo 2

Escolha de método: substituição direta. Explicação didática da ideia:
  • Quando vemos uma função composta do tipo \sqrt{\cos\theta} multiplicada por \sin\theta, é natural tentar u=\cos\theta, porque a derivada de \cos\theta aparece (à parte de sinal) como -\sin\theta, e isso permite transformar toda a integral em termos de u.
    Definimos a substituição:
u=\cos\theta.
Agora calculamos o diferencial de u. Derivando ambos os lados em relação a \theta:
\frac{du}{d\theta}=-\sin\theta
o que implica, isolando d\theta ou \sin\theta\,d\theta:
du=-\sin\theta\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta\,d\theta=-du.
Aqui está a peça-chave: \sin\theta\,d\theta no integrando será substituído por -du, e \sqrt{\cos\theta} vira \sqrt{u}.

Passo 3

Fazer a substituição na integral (mostrar passo a passo):
Começamos com
\int \sin\theta\\ \sqrt{\cos\theta}\,d\theta.
Substituindo \sqrt{\cos\theta}=\sqrt{u} e \sin\theta\,d\theta=-du, obtemos
\int \sin\theta\\ \sqrt{\cos\theta}\,d\theta = \int \sqrt{u}\,(-du) = -\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Integrar usando a regra do poder (power rule). Lembrete da fórmula e explicação:
  • Para n\neq -1 vale
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Aplicando:
-\int u^{1/2}\,du = -\frac{u^{(1/2)+1}}{(1/2)+1}+C = -\frac{u^{3/2}}{3/2}+C.
Simplificando a divisão por 3/2 (dividir por 3/2 equivale a multiplicar por 2/3):
-\frac{u^{3/2}}{3/2} = -\frac{2}{3}u^{3/2}.

Passo 5

Voltar à variável original \theta (back-substitution) e apresentar o resultado final:
Como u=\cos\theta, substituímos de volta:
-\frac{2}{3}u^{3/2}+C = -\frac{2}{3}\big(\cos\theta\big)^{3/2}+C.

Passo 6

Verificação rápida (derivação do resultado para checar): diferenciar o resultado e confirmar que volta ao integrando.
Começando por -\dfrac{2}{3}\big(\cos\theta\big)^{3/2}, usar a regra da cadeia:
\frac{d}{d\theta}\left(-\frac{2}{3}\big(\cos\theta\big)^{3/2}\right) = -\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}\big(\cos\theta\big)^{1/2}\cdot \frac{d}{d\theta}(\cos\theta).
Como \dfrac{d}{d\theta}(\cos\theta)=-\sin\theta, obtemos
-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}\big(\cos\theta\big)^{1/2}\cdot(-\sin\theta) = \sin\theta\\ \sqrt{\cos\theta},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\frac{2}{3}\big(\cos\theta\big)^{3/2}+C

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