Q1.(2,5 pontos) Calcule a derivada da função
f(y)=\int_{\operatorname{sen}^{2} y}^{0} \cos (t-2) d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(y)=\int_{\operatorname{sen}^{2} y}^{0} \cos (t-2)\, dt.
Informações que temos:
  • A variável de integração dentro da integral é t.
  • O integrando é \cos(t-2).
  • O limite inferior da integral é \operatorname{sen}^{2}y (ou seja, \sin^2 y escrito em notação do enunciado).
  • O limite superior é 0 (constante).
  • A variável em que queremos derivar é y.
O que é pedido: calcular f'(y), a derivada de f em relação a y.

Passo 2

Regra que vamos usar (fórmula de Leibniz para derivar integrais com limites que dependem de y).
Seja F uma função contínua e u(y),v(y) funções diferenciáveis. Então vale
\frac{d}{dy}\int_{u(y)}^{v(y)} F(t)\,dt = F\big(v(y)\big)\,v'(y) - F\big(u(y)\big)\,u'(y).
Explicando cada símbolo:
  • F(t) é o integrando, função do parâmetro de integração t.
  • u(y) é o limite inferior, pode depender de y.
  • v(y) é o limite superior, pode depender de y.
  • v'(y) e u'(y) são as derivadas de v e u em relação a y.
    Esta fórmula combina o Teorema Fundamental do Cálculo (que diz que a derivada da primitiva é o integrando) com a Regra da Cadeia (quando o limite depende de y).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Identificamos:
  • F(t)=\cos(t-2).
  • u(y)=\operatorname{sen}^{2}y=\sin^{2}y.
  • v(y)=0 (constante), logo v'(y)=0.
Usando a fórmula,
f'(y)=F\big(v(y)\big)\,v'(y)-F\big(u(y)\big)\,u'(y).
Como v'(y)=0, o primeiro termo some e fica
f'(y)=-F\big(u(y)\big)\,u'(y).

Passo 4

Substituindo F e u:
f'(y)=-\cos\big(\,u(y)-2\,\big)\,u'(y) = -\cos\big(\sin^{2}y-2\big)\,u'(y).
Agora calcule u'(y), onde u(y)=\sin^{2}y. Usando a regra da cadeia para \sin^{2}y=(\sin y)^{2}:
u'(y)=\frac{d}{dy}\sin^{2}y = 2\sin y\cdot\frac{d}{dy}(\sin y)=2\sin y\cos y.
Portanto
f'(y)=-\cos\big(\sin^{2}y-2\big)\cdot 2\sin y\cos y.

Passo 5

Podemos simplificar o fator 2\sin y\cos y usando a identidade trigonométrica
\sin(2y)=2\sin y\cos y.
Assim a expressão fica mais compacta:
f'(y)=-\sin(2y)\,\cos\big(\sin^{2}y-2\big).

Passo 6

Breve verificação alternativa (checar sinais): Outra forma seria escrever inicialmente a integral trocando os limites:
f(y)=\int_{\sin^{2}y}^{0}\cos(t-2)\,dt = -\int_{0}^{\sin^{2}y}\cos(t-2)\,dt.
Derivando esse último com regra da cadeia dá o mesmo resultado
f'(y)= -\cos\big(\sin^{2}y-2\big)\cdot\frac{d}{dy}(\sin^{2}y),
o que conduz novamente a
f'(y)=-\sin(2y)\,\cos\big(\sin^{2}y-2\big).

Resposta

f'(y)=-\sin(2y)\,\cos\big(\sin^{2}y-2\big)

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