Q1.(2,5 pontos) Calcule a derivada da função
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações que temos:
- A variável de integração dentro da integral é
. - O integrando é
. - O limite inferior da integral é
(ou seja, escrito em notação do enunciado). - O limite superior é
(constante). - A variável em que queremos derivar é
.
O que é pedido: calcular
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Regra que vamos usar (fórmula de Leibniz para derivar integrais com limites que dependem de
).
Seja
uma função contínua e
funções diferenciáveis. Então vale
Explicando cada símbolo:
-
é o integrando, função do parâmetro de integração . -
é o limite inferior, pode depender de . -
é o limite superior, pode depender de . -
e são as derivadas de e em relação a .
Esta fórmula combina o Teorema Fundamental do Cálculo (que diz que a derivada da primitiva é o integrando) com a Regra da Cadeia (quando o limite depende de).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso. Identificamos:
-
. -
. -
(constante), logo .
Usando a fórmula,
Como
, o primeiro termo some e fica
Passo 4
Substituindo
e
:
Agora calcule
, onde
. Usando a regra da cadeia para
:
Portanto
Passo 5
Podemos simplificar o fator
usando a identidade trigonométrica
Assim a expressão fica mais compacta:
Passo 6
Breve verificação alternativa (checar sinais): Outra forma seria escrever inicialmente a integral trocando os limites:
Derivando esse último com regra da cadeia dá o mesmo resultado
o que conduz novamente a