Questão 11. Sejam V e W R-espaço vetoriais com produto interno e T: V \longrightarrow W uma função tal que \langle u, v\rangle=\langle T(u), T(v)\rangle para todos u, v \in V. Mostre que T uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
  • Dados:
    • V e W são espaços vetoriais reais com produto interno (ou seja, temos \langle\cdot,\cdot\rangle em cada um).
    • Existe uma função T: V \longrightarrow W tal que \langle u, v\rangle = \langle T(u), T(v)\ranglepara todos u,v\in V.
  • Pedido:
    • Mostrar que T é uma transformação linear, isto é, mostrar que T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(\alpha u)=\alpha T(u)para todos u,v\in V e todos \alpha\in\mathbb{R}.

Passo 2

Entender e transformar a hipótese em propriedades úteis (norma e isometria). Primeiro, lembrando definição: a norma associada ao produto interno é dada por
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
Como \langle u,v\rangle=\langle T(u),T(v)\rangle para todos u,v, em particular para u=v temos
\langle u,u\rangle=\langle T(u),T(u)\rangle.
Tomando raízes não-negativas, isso implica
\|u\|=\|T(u)\|
para todo u\in V. Ou seja, T preserva normas (é uma isometria em relação às normas induzidas pelos produtos internos).

Passo 3

Mostrar que T preserva distâncias (uma consequência direta da preservação de produto interno). Para quaisquer u,v\in V,
\|u-v\|^2=\langle u-v,u-v\rangle=\langle u,u\rangle+\langle v,v\rangle-2\langle u,v\rangle.
Pela hipótese sobre T substituímos cada produto interno por seu correspondente em W e obtemos
\|u-v\|^2=\|T(u)-T(v)\|^2.
Portanto T preserva distâncias entre vetores:
\|u-v\|=\|T(u)-T(v)\|
para todos u,v\in V.

Passo 4

Provar aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v). Consideremos a diferença
a:=T(u+v)-T(u)-T(v).
Vamos calcular o quadrado da norma de a, expandindo pelo produto interno em W:
\langle a,a\rangle = \langle T(u+v),T(u+v)\rangle + \langle T(u),T(u)\rangle + \langle T(v),T(v)\rangle -2\langle T(u+v),T(u)\rangle -2\langle T(u+v),T(v)\rangle +2\langle T(u),T(v)\rangle.
Agora usamos a hipótese para substituir cada produto interno por um correspondente em V. Assim a expressão vira
\begin{aligned} \langle a,a\rangle &= \langle u+v,u+v\rangle + \langle u,u\rangle + \langle v,v\rangle -2\langle u+v,u\rangle -2\langle u+v,v\rangle +2\langle u,v\rangle. \end{aligned}
Vamos calcular passo a passo (lembre que o produto interno em \mathbb{R}-espaços é simétrico e bilinear):
  • \langle u+v,u+v\rangle = \langle u,u\rangle + 2\langle u,v\rangle + \langle v,v\rangle.
  • -2\langle u+v,u\rangle = -2\langle u,u\rangle -2\langle u,v\rangle.
  • -2\langle u+v,v\rangle = -2\langle u,v\rangle -2\langle v,v\rangle.
Somando tudo:
\begin{aligned} \langle a,a\rangle &= (\langle u,u\rangle + 2\langle u,v\rangle + \langle v,v\rangle) + \langle u,u\rangle + \langle v,v\rangle \\\ &\quad -2\langle u,u\rangle -2\langle u,v\rangle -2\langle u,v\rangle -2\langle v,v\rangle +2\langle u,v\rangle. \end{aligned}
Agrupando termos de \langle u,u\rangle,\langle v,v\rangle,\langle u,v\rangle percebe-se que todos cancelam e resta
\langle a,a\rangle = 0.
Como a norma é não negativa e \langle a,a\rangle=\|a\|^2, segue \|a\|=0. Em espaços com produto interno, \|a\|=0 implica a=0. Logo
T(u+v)-T(u)-T(v)=0,
ou seja
T(u+v)=T(u)+T(v)
para todos u,v\in V. Concluímos a aditividade.

Passo 5

Provar homogeneidade: T(\alpha u)=\alpha T(u) para todo \alpha\in\mathbb{R} e todo u\in V. Para um escalar fixo \alpha e vetor u, considere
b:=T(\alpha u)-\alpha T(u).
Vamos calcular \langle b,b\rangle. Expandindo,
\langle b,b\rangle = \langle T(\alpha u),T(\alpha u)\rangle + \alpha^2\langle T(u),T(u)\rangle -2\alpha\langle T(\alpha u),T(u)\rangle.
Usando a hipótese para substituir produtos internos por correspondentes em V:
\langle T(\alpha u),T(\alpha u)\rangle = \langle \alpha u,\alpha u\rangle = \alpha^2\langle u,u\rangle,
\langle T(u),T(u)\rangle = \langle u,u\rangle,
\langle T(\alpha u),T(u)\rangle = \langle \alpha u,u\rangle = \alpha\langle u,u\rangle.
Substituindo na expressão de \langle b,b\rangle:
\langle b,b\rangle = \alpha^2\langle u,u\rangle + \alpha^2\langle u,u\rangle -2\alpha\cdot\alpha\langle u,u\rangle = 0.
Como antes, \langle b,b\rangle=0 implica b=0. Portanto
T(\alpha u)=\alpha T(u)
para todo \alpha\in\mathbb{R} e todo u\in V. Assim a homogeneidade está provada.

Passo 6

Conclusão final: juntando os resultados dos passos anteriores, T é aditiva e homogênea, logo é linear. Além disso, ressaltamos a ideia-chave usada: a hipótese de preservação do produto interno nos deu igualdade de normas e de produtos internos ponto a ponto, e com isso pudemos mostrar diretamente que as diferenças que mediriam a falha de linearidade têm norma zero, forçando-as a serem o vetor nulo.

Resposta

T é linear.

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