Questão 11. Sejam
e
R-espaço vetoriais com produto interno e
uma função tal que
para todos
. Mostre que
uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
-
Dados:
-
e são espaços vetoriais reais com produto interno (ou seja, temos em cada um). - Existe uma função
tal que para todos .
-
-
Pedido:
- Mostrar que
é uma transformação linear, isto é, mostrar que para todos e todos .
- Mostrar que
Passo 2
Entender e transformar a hipótese em propriedades úteis (norma e isometria). Primeiro, lembrando definição: a norma associada ao produto interno é dada por
Como
para todos
, em particular para
temos
Tomando raízes não-negativas, isso implica
para todo
. Ou seja,
preserva normas (é uma isometria em relação às normas induzidas pelos produtos internos).
Passo 3
Mostrar que
preserva distâncias (uma consequência direta da preservação de produto interno). Para quaisquer
,
Pela hipótese sobre
substituímos cada produto interno por seu correspondente em
e obtemos
Portanto
preserva distâncias entre vetores:
para todos
.
Passo 4
Provar aditividade:
. Consideremos a diferença
Vamos calcular o quadrado da norma de
, expandindo pelo produto interno em
:
Agora usamos a hipótese para substituir cada produto interno por um correspondente em
. Assim a expressão vira
Vamos calcular passo a passo (lembre que o produto interno em
-espaços é simétrico e bilinear):
-
. -
. -
.
Somando tudo:
Agrupando termos de
percebe-se que todos cancelam e resta
Como a norma é não negativa e
, segue
. Em espaços com produto interno,
implica
. Logo
ou seja
para todos
. Concluímos a aditividade.
Passo 5
Provar homogeneidade:
para todo
e todo
. Para um escalar fixo
e vetor
, considere
Vamos calcular
. Expandindo,
Usando a hipótese para substituir produtos internos por correspondentes em
:
Substituindo na expressão de
:
Como antes,
implica
. Portanto
para todo
e todo
. Assim a homogeneidade está provada.
Passo 6
Conclusão final: juntando os resultados dos passos anteriores,
é aditiva e homogênea, logo é linear. Além disso, ressaltamos a ideia-chave usada: a hipótese de preservação do produto interno nos deu igualdade de normas e de produtos internos ponto a ponto, e com isso pudemos mostrar diretamente que as diferenças que mediriam a falha de linearidade têm norma zero, forçando-as a serem o vetor nulo.