Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira (V) ou falsa(F).
Justifique as suas respostas.
(a) |A B|=|C D| Rightarrow A B=C D.
(b) A B=C D Rightarrow|A B|=|C D|.
(c) A B sim C D Rightarrow|A B|=|C D|.
(d) A B=C D Rightarrow A=B e C=D.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada implicação entre propriedades de vetores é verdadeira ou falsa. Vamos usar que dois vetores são iguais se e somente se têm mesma direção, sentido e módulo; que lvert ABrvert é o módulo de AB; e que ABsimCD significa que são paralelos.

Passo 2

Analisando (a):
lvert ABrvert=lvert CDrvertRightarrowAB=CD.
Ter mesmo módulo não garante mesma direção e sentido. Por exemplo, em R^2 tome
A=(0,0), B=(1,0), C=(0,0), D=(-1,0).
Então
lvert ABrvert=1,
lvert CDrvert=1,
mas
AB=(1,0)neq(-1,0)=CD.
Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

Analisando (b):
AB=CDRightarrowlvert ABrvert=lvert CDrvert.
Igualdade de vetores implica automaticamente igualdade de módulo.
Portanto a implicação é verdadeira.

Passo 4

Analisando (c):
ABsimCDRightarrowlvert ABrvert=lvert CDrvert.
Paralelismo não impõe igual comprimento. Por exemplo, em R^2 seja AB de comprimento 2 e CD de comprimento 3, ambos paralelos ao eixo x. Então ABsimCD mas
lvert ABrvert=2neq3=lvert CDrvert.
Logo é falsa.

Passo 5

Analisando (d):
AB=CDRightarrow A=B e C=D.
Vetores iguais podem ter pontos de aplicação distintos. Por exemplo,
A=(0,0), B=(1,1), C=(2,2), D=(3,3)
dão AB=CD=(1,1) sem que A=B nem C=D.
Portanto é falsa.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) F
(d) F

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