(a) Em quais pontos é contínua?
(b) Calcule, caso exista, , sendo um vetor unitário qualquer .
(c) Para qual(is) vetor(es) unitário(s) a derivada direcional é máxima?

Passo 1

O enunciado dá a função
Pede-se
(a) os pontos de continuidade de para um vetor unitário com ,
(c) para quais vetores essa derivada direcional é máxima.
Usaremos limites em várias variáveis para continuidade, definição de derivada direcional e otimização com restrição.]

Passo 2

Em (x,y)neq(0,0) temos denominador não nulo e f é quociente de funções polinomiais, logo contínua em R^2setminus(0,0).
Em (0,0) passamos a coordenadas polares
x=rcostheta, y=rsintheta,
de modo que, para r>0,
f(rcostheta,rsintheta) =r^4cos^4theta;rsintheta(r^2)^2 =r,cos^4theta,sintheta
Como rto0 isso tende a 0=f(0,0), segue que f é contínua em (0,0).
Portanto f é contínua em todo R^2.

Passo 3

Pela definição de derivada direcional em (0,0) na direção u=(a,b) com a^2+b^2=1,
partial fpartial u(0,0) =limtto0f(t a,t b)-f(0,0)t =limtto0t,a^4bt =a^4b

Passo 4

Queremos maximizar a^4b sujeito a a^2+b^2=1. Como o máximo positivo ocorre com b>=0, seja
x=a^2in[0,1], b=raiz1-x
Então
partial fpartial u(0,0) =a^4b =(x^2raiz1-x)
Para achar o máximo, considere
psi(x)=l(x^2raiz1-xr)^2=x^4(1-x)
Derivando,
psi'(x)=4x^3(1-x)-x^4 =x^3(4-5x),
que se anula em x=0 (mínimo) e x=4/5. Logo a^2=4/5, b=raiz1-4/5=1/raiz5.
Isso dá
a=pm2raiz5, b=1raiz5

Resposta

(a) f é contínua em todo R^2.
(b) partial fpartial u(0,0)=a^4b.
(c) A derivada direcional é máxima para
u=l(pmtfrac2raiz5,,tfrac1raiz5r)

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