(a) Em quais pontos
é contínua?
(b) Calcule, caso exista,
, sendo
um vetor unitário qualquer
.
(c) Para qual(is) vetor(es) unitário(s)
a derivada direcional
é máxima?
(b) Calcule, caso exista,
(c) Para qual(is) vetor(es) unitário(s)
Passo 1
O enunciado dá a função
Pede-se
(a) os pontos de continuidade de para um vetor unitário com
,
(c) para quais vetores essa derivada direcional é máxima.
Usaremos limites em várias variáveis para continuidade, definição de derivada direcional e otimização com restrição.]
(a) os pontos de continuidade de para um vetor unitário
(c) para quais vetores
Usaremos limites em várias variáveis para continuidade, definição de derivada direcional e otimização com restrição.]
Passo 2
Em
temos denominador não nulo e
é quociente de funções polinomiais, logo contínua em
.
Em passamos a coordenadas polares
Em
de modo que, para
,
Como
isso tende a
, segue que
é contínua em
.
Portanto é contínua em todo
.
Portanto
Passo 3
Pela definição de derivada direcional em
na direção
com
,
Passo 4
Queremos maximizar
sujeito a
. Como o máximo positivo ocorre com
, seja
Então
Para achar o máximo, considere
Derivando,
que se anula em
(mínimo) e
. Logo
,
.
Isso dá
Isso dá
Resposta
(a)
é contínua em todo
.
(b) .
(c) A derivada direcional é máxima para
(b)
(c) A derivada direcional é máxima para