(6 pontos) Uma corda está esticada e a tração que mantém esticada essa corda está ajustada para que a sua frequência fundamental seja de 440 Hz. Os dois suportes fixos que prendem essa corda estão separados de 1,00 \mathrm{~m}. A força é de lá padrão). A velocidade de propagação de ondas transversais nessa corda será:
a) 550 \mathrm{~m} / \mathrm{s};
b) 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s};
c) 660 \mathrm{~m} / \mathrm{s};
d) 880 \mathrm{~m} / \mathrm{s};
e) 440 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados importantes):
  • A frequência fundamental é \,f_1 = 440\\ \mathrm{Hz}.
  • Os dois suportes fixos estão separados por \,L = 1{,}00\\ \mathrm{m} (ou seja, o comprimento da corda é \,L = 1{,}00\\ \mathrm{m}).
  • Pergunta: qual é a velocidade de propagação de ondas transversais na corda? (opções: a) 550\\ \mathrm{m/s}; b) 100\\ \mathrm{m/s}; c) 660\\ \mathrm{m/s}; d) 880\\ \mathrm{m/s}; e) 440\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 2

Entendendo como é a onda estacionária fundamental numa corda presa nas duas extremidades (aula rapidinha e direta):
  • Quando a corda está presa em ambas as extremidades, essas extremidades são pontos fixos chamados de nós (onde o deslocamento transverse é sempre zero).
  • No modo fundamental (primeiro harmônico, n=1) há exatamente dois nós nas extremidades e um antinódo no meio. Geometricamente, isso significa que, ao longo da corda, cabe meia onda inteira.
  • Portanto a relação entre comprimento da corda L e o comprimento de onda da fundamental \lambda_1 é:
\lambda_1 = 2L.
Explicando as variáveis: \lambda_1 é o comprimento de onda do modo fundamental (medido em metros) e L é o comprimento da corda (em metros). O fator 2 vem de o comprimento da corda corresponder a metade de uma onda completa no modo fundamental.

Passo 3

Fórmula de ligação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
  • Para qualquer onda harmônica, a velocidade de propagação v, a frequência f e o comprimento de onda \lambda satisfazem
v = f \lambda.
Aqui v está em \mathrm{m/s}, f em \mathrm{Hz} (ciclos por segundo) e \lambda em \mathrm{m}. No caso da fundamental, usamos f=f_1 e \lambda=\lambda_1.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda da fundamental usando \lambda_1 = 2L:
\lambda_1 = 2L = 2 \times 1{,}00\\ \mathrm{m} = 2{,}00\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a velocidade usando v = f_1 \lambda_1:
v = f_1 \lambda_1 = 440\\ \mathrm{Hz} \times 2{,}00\\ \mathrm{m} = 880\\ \mathrm{m/s}.
Conta simples: 440 \times 2 = 880.

Passo 6

Observação útil (para a prova): outra forma de relacionar velocidade com propriedades da corda é
v = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}},
onde T é a tensão na corda (em N) e \mu é a massa linear da corda (em \mathrm{kg/m}). Aqui não precisamos dessa fórmula porque já nos deram f_1 e L, que bastam. Mas fica anotado para casos em que se pede a tensão ou a massa linear.

Resposta

d) 880\\ \mathrm{m/s}

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