(6 pontos) Uma corda está esticada e a tração que mantém esticada essa corda está ajustada para que a sua frequência fundamental seja de 440 Hz. Os dois suportes estão separados de 1,00 m. A velocidade de propagação de ondas transversais nessa corda será:
a) 550 m/s;
b) 403 Hz ou 397 Hz ;
c) 660 m/s;
d) 880 m/s;
e) 440 m/s.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados importantes):
  • Frequência fundamental: f_1 = 440\\ \mathrm{Hz}.
  • Distância entre os dois suportes: L = 1{,}00\\ \mathrm{m}.
    O que o problema pede:
  • Determinar a velocidade de propagação das ondas transversais na corda, ou seja, encontrar v em \mathrm{m/s}.
    As alternativas dadas são: (a) 550\\ \mathrm{m/s}; (b) 403\\ \mathrm{Hz} ou 397\\ \mathrm{Hz}; (c) 660\\ \mathrm{m/s}; (d) 880\\ \mathrm{m/s}; (e) 440\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Entender a configuração física e o que significa “frequência fundamental” sem usar termos técnicos demais:
  • A corda está presa em dois pontos (suportes) e vibra formando ondas estacionárias. Nos extremos presos sempre há nós (pontos que não se movem).
  • A “frequência fundamental” é a menor frequência possível de vibração estacionária da corda, correspondente ao modo em que há exatamente dois nós nas extremidades e um único ventre (meio da corda) entre eles.
    Em termos de comprimento de onda, isso significa que, no modo fundamental, a corda contém meia comprimento de onda. Vou expressar isso precisamente no próximo passo.

Passo 3

Relação entre o comprimento da corda L e o comprimento de onda \lambda_1 do modo fundamental:
  • Para uma corda fixa nas duas pontas, no modo fundamental a distância entre os dois nós de extremidade corresponde a meia onda inteira. Portanto
\lambda_1 = 2L.
Aqui \lambda_1 é o comprimento de onda associado à frequência fundamental f_1.

Passo 4

Fórmula que liga velocidade de onda, frequência e comprimento de onda:
  • A relação básica de ondas é
v = f \lambda,
onde v é a velocidade da onda (em \mathrm{m/s}), f é a frequência (em \mathrm{Hz}) e \lambda é o comprimento de onda (em \mathrm{m}).
No caso da frequência fundamental, usamos f=f_1 e \lambda=\lambda_1, então
v = f_1 \lambda_1.

Passo 5

Calcular \lambda_1 usando o comprimento da corda:
\lambda_1 = 2L = 2\cdot 1{,}00\\ \mathrm{m} = 2{,}00\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Substituir na fórmula v = f_1 \lambda_1 e calcular sem calculadora (multiplicação direta):
v = f_1 \lambda_1 = 440\\ \mathrm{Hz}\times 2{,}00\\ \mathrm{m} = 880\\ \mathrm{m/s}.
Explicando a conta: 440\times 2 = 880; as unidades ficam \mathrm{Hz}\cdot\mathrm{m} = \mathrm{s^{-1}}\cdot\mathrm{m} = \mathrm{m/s}, que é a unidade correta para velocidade.

Passo 7

Verificação rápida das alternativas:
  • A alternativa (d) indica 880\\ \mathrm{m/s}, que coincide com o valor calculado. As outras alternativas não batem com o resultado ou nem têm unidades de velocidade (como a (b) que dá frequências). Logo a opção correta é a (d).

Resposta

d) 880\\ \mathrm{m/s}

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