2- ( 3,0 pontos) Um corpo de 3,00 \mathrm{~kg} oscila preso a uma mola de constante de força 500 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A constante de amortecimento vale b=2,50 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O sistema é movido por uma força senoidal de módulo máximo igual a 8,0 \mathrm{~N} e frequência \omega=15,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. a) Qual é a amplitude máxima das oscilações? b) Se a frequência externa pode variar, em que frequência ocorrerá a ressonância? c) Qual é a amplitude de oscilação na ressonância?

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador harmônico amortecido e forçado, com massa m=3{,}00\:\mathrm{kg}, constante elástica k=500\:\mathrm{N/m}, coeficiente de amortecimento b=2{,}50\:\mathrm{kg/s} e força externa senoidal de amplitude F_0=8{,}0\:\mathrm{N}.
Precisamos usar a forma estacionária da amplitude de um oscilador amortecido e forçado, a expressão da frequência natural \omega_0 e a frequência de ressonância \omega_{\rm res}.

Passo 2

A amplitude estacionária X(\omega) de um oscilador amortecido forçado é dada por
X(\omega) = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\,\omega^2)^2 + (b\,\omega)^2}}
Substituindo F_0=8{,}0\:\mathrm{N}, m=3{,}00\:\mathrm{kg}, k=500\:\mathrm{N/m}, b=2{,}50\:\mathrm{kg/s} e \omega=15{,}0\:\mathrm{rad/s}:
k - m\,\omega^2 = 500 - 3\cdot(15{,}0)^2 = 500 - 675 = -175
(b\,\omega)^2 = (2{,}50\cdot15{,}0)^2 = 37{,}5^2 = 1406{,}25
\sqrt{(-175)^2 + 1406{,}25} = \sqrt{30625 + 1406{,}25} = \sqrt{32031{,}25}\approx179{,}0
X(15{,}0) = \frac{8{,}0}{179{,}0} \approx0{,}0447\:\mathrm{m}

Passo 3

Para a ressonância em um oscilador amortecido, calculamos primeiro a frequência natural
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{500}{3{,}00}} \approx12{,}91\:\mathrm{rad/s}
e o coeficiente \gamma = \frac{b}{2m} = \frac{2{,}50}{2\cdot3{,}00} \approx0{,}4167\:\mathrm{s^{-1}}.
A frequência de ressonância é
\omega_{\rm res} = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} = \sqrt{(12{,}91)^2 - (0{,}4167)^2} \approx12{,}90\:\mathrm{rad/s}

Passo 4

A amplitude máxima na ressonância ocorre quando \omega=\omega_{\rm res} e vale
X_{\rm res} = \frac{F_0}{b\,\omega_{\rm res}} = \frac{8{,}0}{2{,}50\cdot12{,}90} \approx0{,}248\:\mathrm{m}

Resposta

(a) 0{,}0447\:\mathrm{m}
(b) 12{,}90\:\mathrm{rad/s}
(c) 0{,}248\:\mathrm{m}

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