3- ( 2,0 pontos) Suponha um relógio de pêndulo que funciona a partir de um pêndulo simples de 1 m de comprimento. A massa na ponta do pêndulo é de
. a) O comprimento do arame que constitui o pêndulo diminui quando a temperatura diminui. Como isso afeta o relógio? (vai adiantar ou atrasar?) b) Suponha que o atrito com o ar introduza uma força de atrito com
. Quantas oscilações o pêndulo completa antes de a amplitude de oscilação cair pela metade?
Passo 1
O enunciado fala de um pêndulo simples de comprimento
e massa
que serve de base para um relógio. A parte (a) pede o efeito de uma diminuição de
(devido ao frio) sobre o andamento do relógio; a parte (b) pede, dado um atrito viscoso com coeficiente
, quantas oscilações são necessárias para a amplitude cair à metade. Vamos usar: para (a) a fórmula do período de um pêndulo simples e, para (b), a equação do oscilador amortecido linear.
Passo 2
Para o pêndulo simples sem atrito, o período vale
Se a temperatura cai, o comprimento
diminui, logo
diminui e
diminui. Um período menor faz o relógio “bater” mais rápido, isto é, o relógio vai adiantar.
Passo 3
Com atrito viscoso tangencial proporcional à velocidade
, a equação linear em
(ângulo pequeno) é
Dividindo por
obtemos o oscilador amortecido padrão
onde
Passo 4
Na solução subamortecida, a amplitude decai como
Para
temos
Com
e
segue
Passo 5
O número de oscilações até cair à metade é
Ou seja, cerca de uma oscilação já reduz a amplitude à metade.
Resposta
a) O relógio vai adiantar.
b) Cerca de oscilação antes da amplitude cair pela metade.
b) Cerca de