3- ( 2,0 pontos) Suponha um relógio de pêndulo que funciona a partir de um pêndulo simples de 1 m de comprimento. A massa na ponta do pêndulo é de 1,5 \mathrm{~kg}. a) O comprimento do arame que constitui o pêndulo diminui quando a temperatura diminui. Como isso afeta o relógio? (vai adiantar ou atrasar?) b) Suponha que o atrito com o ar introduza uma força de atrito com b=1 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}. Quantas oscilações o pêndulo completa antes de a amplitude de oscilação cair pela metade?

Passo 1

O enunciado fala de um pêndulo simples de comprimento L=1\,\mathrm m e massa m=1{,}5\,\mathrm{kg} que serve de base para um relógio. A parte (a) pede o efeito de uma diminuição de L (devido ao frio) sobre o andamento do relógio; a parte (b) pede, dado um atrito viscoso com coeficiente b=1\,\mathrm{N\,s/m}, quantas oscilações são necessárias para a amplitude cair à metade. Vamos usar: para (a) a fórmula do período de um pêndulo simples e, para (b), a equação do oscilador amortecido linear.

Passo 2

Para o pêndulo simples sem atrito, o período vale
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.
Se a temperatura cai, o comprimento L diminui, logo \sqrt{L/g} diminui e T diminui. Um período menor faz o relógio “bater” mais rápido, isto é, o relógio vai adiantar.

Passo 3

Com atrito viscoso tangencial proporcional à velocidade v=x', a equação linear em \theta (ângulo pequeno) é
mL^2\,\theta'' + bL^2\,\theta' + m g L\,\theta = 0.
Dividindo por mL^2 obtemos o oscilador amortecido padrão
\theta'' + \frac{b}{m}\,\theta' + \frac{g}{L}\,\theta = 0 \quad\longrightarrow\quad \theta'' + 2\gamma\,\theta' + \omega_0^2\,\theta = 0,
onde
2\gamma = \frac{b}{m}, \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}}.

Passo 4

Na solução subamortecida, a amplitude decai como
A(t) = A_0\,e^{-\gamma t}.
Para A(t_{1/2}) = A_0/2 temos
e^{-\gamma t_{1/2}} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \gamma\,t_{1/2} = \ln 2 \quad\Longrightarrow\quad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\gamma} = \frac{2m\,\ln 2}{b}.
Com m=1{,}5 e b=1 segue
\gamma = \frac{b}{2m} = \frac{1}{3}\,\mathrm s^{-1}, \quad t_{1/2} = \frac{\ln2}{1/3} \approx 2{,}08\\ \mathrm s.

Passo 5

O número de oscilações até cair à metade é
N = \frac{t_{1/2}}{T} = \frac{2m\,\ln2 / b}{2\pi\sqrt{L/g}} \approx \frac{2{,}079}{2{,}007} \approx 1{,}04.
Ou seja, cerca de uma oscilação já reduz a amplitude à metade.

Resposta

a) O relógio vai adiantar.
b) Cerca de 1 oscilação antes da amplitude cair pela metade.

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