4- (2,0 pontos) Um saco de pancadas de massa igual a 10 Kg está pendurado em uma corda de
de comprimento. Quando o saco está parado alguém dá um soco conferindo ao objeto uma velocidade inicial v. a) Escreva o deslocamento angular do saco em função do tempo.
b) Qual a amplitude máxima alcançada pelo saco (em função de v)? c) Considerando que a partir de
o seno fica consideravelmente diferente do ângulo, qual o valor máximo de
para que ainda possamos considerar esse pêndulo como um movimento harmônico? Explique suas considerações.
b) Qual a amplitude máxima alcançada pelo saco (em função de v)? c) Considerando que a partir de
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo simples de massa
,kg e comprimento
,m que, estando inicialmente em repouso na posição vertical, recebe ao tempo
um impulso que lhe confere velocidade tangencial inicial
. O conteúdo aqui é o movimento harmônico simples (MHS) do pêndulo na aproximação de pequenos ângulos. Vamos:
- escrever a equação de movimento linearizada;
- obter
usando as condições iniciais; - extrair a amplitude máxima em função de
; - determinar o valor máximo de
para que .
Passo 2
Na aproximação de pequenos ângulos (
com
em radianos), a equação de movimento do pêndulo é
onde
é a aceleração da gravidade. Definindo a frequência angular natural
a solução geral do MHS é
Passo 3
Aplicamos as condições iniciais no instante
:
implica
.
A velocidade angular inicial é (pois a velocidade tangencial é
), então
A velocidade angular inicial é
Logo a solução particular é
Passo 4
Da expressão de
vemos que a amplitude angular máxima é
Passo 5
Para que a aproximação
seja válida até
, convertemos para radianos:
Impondo
, temos
Substituindo
,m/
e
,m,
logo
Resposta
a)
, com
.
b) .
c) Pelo critério segue
b)
c) Pelo critério