4- (2,0 pontos) Um saco de pancadas de massa igual a 10 Kg está pendurado em uma corda de 2 m de comprimento. Quando o saco está parado alguém dá um soco conferindo ao objeto uma velocidade inicial v. a) Escreva o deslocamento angular do saco em função do tempo.
b) Qual a amplitude máxima alcançada pelo saco (em função de v)? c) Considerando que a partir de 10^{\circ} o seno fica consideravelmente diferente do ângulo, qual o valor máximo de v para que ainda possamos considerar esse pêndulo como um movimento harmônico? Explique suas considerações.

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo simples de massa m=10,kg e comprimento L=2,m que, estando inicialmente em repouso na posição vertical, recebe ao tempo t=0 um impulso que lhe confere velocidade tangencial inicial v. O conteúdo aqui é o movimento harmônico simples (MHS) do pêndulo na aproximação de pequenos ângulos. Vamos:
  1. escrever a equação de movimento linearizada;
  2. obter \theta(t) usando as condições iniciais;
  3. extrair a amplitude máxima em função de v;
  4. determinar o valor máximo de v para que \theta_{\max}\le10^\circ.

Passo 2

Na aproximação de pequenos ângulos ( \sin\theta\approx\theta com \theta em radianos), a equação de movimento do pêndulo é
\theta'' + \frac{g}{L}\,\theta = 0,
onde g é a aceleração da gravidade. Definindo a frequência angular natural
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}},
a solução geral do MHS é
\theta(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t).

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais no instante t=0: \theta(0)=0 implica A=0.
A velocidade angular inicial é \dot\theta(0)=v/L (pois a velocidade tangencial é L\,\dot\theta), então
\dot\theta(t)=A(-\omega)\sin(\omega t)+B\,\omega\cos(\omega t) \quad\Longrightarrow\quad \dot\theta(0)=B\,\omega = \frac{v}{L} \;\Rightarrow\; B = \frac{v}{L\,\omega}.
Logo a solução particular é
\theta(t) = \frac{v}{L\,\omega}\,\sin(\omega t).

Passo 4

Da expressão de \theta(t) vemos que a amplitude angular máxima é
\theta_{\max} = \frac{v}{L\,\omega} = \frac{v}{L\sqrt{g/L}} = \frac{v}{\sqrt{g\,L}}.

Passo 5

Para que a aproximação \sin\theta\approx\theta seja válida até \theta_{\max}=10^\circ, convertemos para radianos:
10^\circ = \frac{\pi}{18}\,\text{rad}.
Impondo \theta_{\max}\le \pi/18, temos
\frac{v}{\sqrt{g\,L}} \le \frac{\pi}{18} \quad\Longrightarrow\quad v \le \sqrt{g\,L}\,\frac{\pi}{18}.
Substituindo g=9{,}81,m/ s^{2} e L=2,m,
\sqrt{g\,L} = \sqrt{9{,}81\cdot 2}\approx 4{,}43\\ \mathrm{m/s},
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v_{\max}\approx 4{,}43\;\frac{\pi}{18}\approx 0{,}77\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) \displaystyle \theta(t)=\frac{v}{L\,\omega}\,\sin(\omega t), com \omega=\sqrt{\tfrac{g}{L}}.
b) \displaystyle \theta_{\max}=\frac{v}{\sqrt{g\,L}}.
c) Pelo critério \theta_{\max}\le10^\circ segue \displaystyle v_{\max}=\sqrt{g\,L}\,\frac{\pi}{18}\approx0{,}77\\ \mathrm{m/s}.

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