Ex. 13. Seja
. Um elemento
é dito ser uma unidade módulo
se existe
tal que
.
(a) Determine
.
(b) Mostre que o conjunto
das unidades módulo
formam um grupo multiplicativo com ordem
(
é a função phi de Euler, que associa a cada natural
o número de inteiros entre 1 e
que são relativamente primos
.)
(a) Determine
(b) Mostre que o conjunto
Passo 1
O enunciado define: para
, um elemento
é uma unidade módulo
se existe
tal que
As tarefas pedidas são:
- (a) Determinar
, ou seja, listar todas as unidades módulo . - (b) Mostrar que o conjunto
das unidades módulo forma um grupo multiplicativo (com a operação “multiplicação módulo ”) e que a ordem desse grupo é
onde
é a função totiente de Euler.
As informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar:
- A definição de unidade módulo
(existência de inverso multiplicativo módulo ). - A definição de
como o número de inteiros entre e que são coprimos com .
Não há figuras nem outros dados numéricos além dee a definição acima.
Passo 2
Vamos resolver (a): encontrar
. Pelo enunciado é conveniente usar a equivalência que vou provar logo a seguir (essa equivalência também ajuda a responder (b)): um
é unidade módulo
se e somente se
(ou seja,
é coprimo com
). Para o caso
vou aplicar diretamente a condição de coprimalidade: listar
e verificar quais têm
igual a
.
Os inteiros de
a
são:
Fatores primos de
são
e
. Portanto, um número entre
e
é coprimo com
exatamente quando não é divisível por
nem por
. Eliminando múltiplos de
ou
sobra a lista:
Logo, pela equivalência unidade
coprimo, temos
Passo 3
Para fixar a intuição: verifico que cada elemento de
tem de fato um inverso módulo
. Calculo produtos:
e
. Portanto
são suas próprias inversas (elementos de ordem
no grupo) e
é a identidade. Isso confirma a lista de (a).
Passo 4
Agora abordo (b). Primeiro provarei a equivalência fundamental: para
,
Vou provar as duas implicações.
Direção “
”: se
tem inverso módulo
. Suponha que existe
tal que
Isto significa que existe
com
Reescrevendo:
Essa escrita mostra que
é combinação linear inteira de
e
. Portanto o maior divisor comum
divide
, o que implica
. Assim, se
tem inverso módulo
então
é coprimo com
.
Passo 5
Direção “
”: se
então
tem inverso módulo
. Aqui uso o Lema de Bézout (identidade de Bézout): se
então existem inteiros
tais que
Isso é um teorema básico de teoria dos números (explicação rápida: os menores inteiros positivos que podem ser escritos como combinação
são exatamente os múltiplos do
; quando
obtém-se
). Reduzindo a congruência acima módulo
obtemos
ou seja,
é um inverso de
módulo
. Tomando o representante de
no conjunto
(ou
) obtemos um
com
. Assim,
é unidade módulo
. Isso conclui a equivalência.
Passo 6
A partir da equivalência temos
Por definição, o número de tais inteiros é exatamente
. Portanto o conjunto de unidades modulo
tem cardinalidade
:
Isso já resolve a parte do enunciado sobre a ordem do conjunto.
Passo 7
Agora mostro que
é um grupo multiplicativo (isto é, é um grupo com a operação “multiplicação módulo
”). Lembro rapidamente: para um conjunto com uma operação ser grupo precisamos verificar quatro axiomas: (i) fechamento, (ii) existência de elemento neutro, (iii) existência de inversos, (iv) associatividade. Vou tratar cada um.
(i) Fechamento: tomem
. Então
e
. Quero mostrar que
também pertence a
, isto é,
. Uma maneira simples é por contradição: suponha um primo
divide
e
. Se
então
ou
. Mas
e
e
, logo nenhum dos dois pode ser dividido por
. Contradição. Portanto nenhum primo divisor de
divide
, e assim
. Logo
. Em termos de congruências, o produto de duas classes com inverso tem inverso dado por produto dos inversos, o que também mostra fechamento.
(ii) Elemento neutro:
pertence a
pois
para todo
. E
é neutro para a multiplicação módulo
.
(iii) Inversos: por definição de
, cada
tem um inverso
com
(vemos isso pela equivalência com
e o uso do lema de Bézout). Portanto todo elemento tem inverso em
.
(iv) Associatividade: a operação é multiplicação de classes residuais módulo
, e a multiplicação de inteiros é associativa; a passagem a classes modulo
preserva associatividade. Logo a operação é associativa em
.
Como os quatro axiomas são satisfeitos,
é um grupo sob multiplicação módulo
. Observação: é também um grupo abeliano porque a multiplicação é comutativa.
Passo 8
Resumo final do raciocínio (curto e prático para prova de prova): mostrei que
-
é unidade módulo (provas via congruência e identidade de Bézout); - portanto
é exatamente o conjunto dos inteiros em coprimos com , e assim ; -
é fechado, tem identidade , cada elemento tem inverso (pela equivalência), e a operação é associativa; logo é grupo multiplicativo finito de ordem .