• Os pontos críticos da função
y=0.25 x^{4}-2.5 x^{2}+5
são:
a) 0, \sqrt{5} e -\sqrt{5}
b) 0,0.5 \mathrm{e}-0.5
c) 5 e -5
d) 0 e 5
e) 1 e-1

Passo 1

O enunciado dá a função
y=0,25x^{4}-2,5x^{2}+5
e pede quais são os pontos críticos dessa função, oferecendo as alternativas:
(a) 0, \sqrt{5} e -\sqrt{5}
(b) 0, 0,5 e -0,5
(c) 5 e -5
(d) 0 e 5
(e) 1 e -1
Informações relevantes dadas: a função é um polinômio de grau 4 com coeficientes \,0,25, -2,5 e 5.

Passo 2

O que é um ponto crítico?
Um ponto crítico de uma função acontece quando a derivada da função é igual a zero ou quando a derivada não existe naquele ponto. Como a função dada é um polinômio, a derivada existe para todo x. Logo, aqui os pontos críticos são exatamente as soluções da equação
y'=0.
Antes de resolver, vamos calcular a derivada.

Passo 3

Regra que vamos usar (regra do poder / power rule): se f(x)=a x^{n} com a constante e n inteiro positivo, então
f'(x)=a\cdot n\;x^{n-1}.
Aqui aplicamos essa regra termo a termo ao polinômio \,y=0,25x^{4}-2,5x^{2}+5.

Passo 4

Derivando cada termo:
  • Derivada de \,0,25x^{4} é \,0,25\cdot 4 x^{3}. Calculando o produto: 0,25\cdot 4 =1. Então esse termo dá \,x^{3}.
  • Derivada de -2,5x^{2} é -2,5\cdot 2 x. Calculando: -2,5\cdot 2 = -5. Então esse termo dá -5x.
  • Derivada de 5 (constante) é 0.
Portanto a derivada é
y'=x^{3}-5x.

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos resolvemos
x^{3}-5x=0.
Factorizando x em evidência:
x(x^{2}-5)=0.
Uma equação do tipo A\cdot B=0 implica A=0 ou B=0. Assim:
  • x=0, ou
  • x^{2}-5=0 \Rightarrow x^{2}=5.

Passo 6

Resolvendo x^{2}=5 obtemos
x=\pm\sqrt{5},
ou seja x=\sqrt{5} e x=-\sqrt{5}.
Como a derivada existe para todo x, esses são todos os pontos críticos da função.

Passo 7

Resumo dos pontos críticos (valores de x) encontrados: 0, \sqrt{5} e -\sqrt{5}.
Entre as alternativas dadas, essa coleção corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) 0, \sqrt{5} e -\sqrt{5}

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