(1.0 pontos) Dada equação
y^{\prime \prime}(x)+4 y(x)=F(x)
Sabendo que y(x)=C_{1} \cos (2 x)+C_{2} \operatorname{sen}(2 x)+\frac{3}{20} e^{4 x}
é sua solução geral, determine F(x)
CÁLCULO:
Resp: F(x)=

Passo 1

O enunciado dá a equação não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(x) + 4\,y(x) = F(x)
e informa que a solução geral é
y(x) = C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x) + \frac{3}{20}e^{4x}.
Para descobrir F(x), basta usar que em toda solução vale
F(x) = y''(x) + 4\,y(x).

Passo 2

Observamos que a parte y_h(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x) é a solução da equação homogênea
y_h''(x)+4\,y_h(x)=0.
Logo essa contribuição some em y''+4y.

Passo 3

Isolamos a parte particular
y_p(x)=\frac{3}{20}e^{4x}
e calculamos sua segunda derivada:
y_p'(x)=\frac{3}{20}\cdot 4\,e^{4x}=\frac{3}{5}e^{4x}, \quad y_p''(x)=\frac{3}{5}\cdot 4\,e^{4x}=\frac{12}{5}e^{4x}.

Passo 4

Substituímos em y''+4y apenas para y_p:
y_p''(x)+4\,y_p(x) =\frac{12}{5}e^{4x}+4\cdot\frac{3}{20}e^{4x} =\frac{12}{5}e^{4x}+\frac{12}{5}e^{4x} = \frac{24}{5}e^{4x}.
Revisando o cálculo, notamos que 4\cdot\frac{3}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}, então
y_p''(x)+4\,y_p(x) =\frac{12}{5}e^{4x}+\frac{3}{5}e^{4x} =\frac{15}{5}e^{4x} =3e^{4x}.

Resposta

F(x)=3e^{4x}

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