Calcule as integrais:
a)
\int \frac{6 x^{4}-5 x^{3}+4 x^{2}}{2 x^{2}-x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}}{2x^{2}-x+1}\,dx
O plano é primeiro usar divisão de polinômios para escrever a fração como um polinômio mais uma parte com grau do numerador menor que o do denominador, e depois integrar terminho a terminho usando logaritmo e arctan.

Passo 2

Fazendo a divisão de
6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}
por
2x^{2}-x+1
a gente encontra
6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}=(2x^{2}-x+1)(3x^{2}-x)+x.
Logo
\frac{6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}}{2x^{2}-x+1} =3x^{2}-x+\frac{x}{2x^{2}-x+1},
e a integral vira
\int(3x^{2}-x)\,dx+\int \frac{x}{2x^{2}-x+1}\,dx.

Passo 3

A parte polinomial é direta:
\int(3x^{2}-x)\,dx =x^{3}-\frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Para \displaystyle \int \frac{x}{2x^{2}-x+1}\,dx
note que o denominador é \displaystyle D=2x^{2}-x+1
e \displaystyle D'=4x-1.
Escrevemos
x=\frac{1}{4}(4x-1)+\frac{1}{4},
de modo que
\frac{x}{D} =\frac{1}{4}\,\frac{4x-1}{D}+\frac{1}{4}\,\frac{1}{D}.
Assim
\int \frac{x}{D}\,dx =\frac{1}{4}\int\frac{D'}{D}\,dx +\frac{1}{4}\int\frac{1}{D}\,dx =\frac{1}{4}\ln\bigl|D\bigr| +\frac{1}{4}\int\frac{1}{2x^{2}-x+1}\,dx.

Passo 5

Falta \displaystyle \int\frac{1}{2x^{2}-x+1}\,dx.
Faça
2x^{2}-x+1 =2\Bigl(x^{2}-\tfrac12x+\tfrac12\Bigr) =2\Bigl[(x-\tfrac14)^{2}+\tfrac{7}{16}\Bigr].
Então
\int\frac{1}{2x^{2}-x+1}\,dx =\frac12\int\frac{1}{(x-\tfrac14)^{2}+(\tfrac{\sqrt7}{4})^{2}}\,dx =\frac12\cdot\frac{4}{\sqrt7} \arctan\!\bigl(\tfrac{4}{\sqrt7}(x-\tfrac14)\bigr) =\frac{2}{\sqrt7}\arctan\!\bigl(\tfrac{4x-1}{\sqrt7}\bigr).
Logo, juntando tudo,
\int \frac{x}{2x^{2}-x+1}\,dx =\frac{1}{4}\ln\bigl(2x^{2}-x+1\bigr) +\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt7} \arctan\!\bigl(\tfrac{4x-1}{\sqrt7}\bigr).

Resposta

Somando as duas partes, obtemos
\int \frac{6x^{4}-5x^{3}+4x^{2}}{2x^{2}-x+1}\,dx =x^{3}-\frac{x^{2}}{2} +\frac{1}{4}\ln\bigl(2x^{2}-x+1\bigr) +\frac{1}{2\sqrt7}\arctan\!\Bigl(\frac{4x-1}{\sqrt7}\Bigr)+C.

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