\mathbf{4}^{\mathbf{a}} Questão: Determinar a medida da área da figura limitada pelas curvas y^{2}=9 x e y=3 x.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \,y^2 = 9x (parábola com vértice na origem) e \,y = 3x (reta passando pela origem). O conteúdo é cálculo de área usando integração definida em coordenadas cartesianas. Vamos:
Encontrar os pontos de interseção.
Escolher a variável de integração.
Montar o integral da diferença entre as abscissas direita e esquerda.
Passo 2
Escrevemos cada curva como x em função de y:
Da parábola \,y^2 = 9x, tem-se
x = \frac{y^2}{9}.
Da reta \,y = 3x, tem-se
x = \frac{y}{3}.
Para achar os limites em y, igualamos
\frac{y^2}{9} = \frac{y}{3} \;\Longrightarrow\; y^2 = 3y \;\Longrightarrow\; y(y - 3) = 0 \;\Longrightarrow\; y = 0 \text{ ou } y = 3.
Passo 3
No intervalo 0 \le y \le 3, o limite esquerdo de x é \tfrac{y^2}{9} e o direito é \tfrac{y}{3}. Assim, a área vale