\mathbf{4}^{\mathbf{a}} Questão: Determinar a medida da área da figura limitada pelas curvas y^{2}=9 x e y=3 x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \,y^2 = 9x (parábola com vértice na origem) e \,y = 3x (reta passando pela origem). O conteúdo é cálculo de área usando integração definida em coordenadas cartesianas. Vamos:
  1. Encontrar os pontos de interseção.
  2. Escolher a variável de integração.
  3. Montar o integral da diferença entre as abscissas direita e esquerda.

Passo 2

Escrevemos cada curva como x em função de y:
Da parábola \,y^2 = 9x, tem-se
x = \frac{y^2}{9}.
Da reta \,y = 3x, tem-se
x = \frac{y}{3}.
Para achar os limites em y, igualamos
\frac{y^2}{9} = \frac{y}{3} \;\Longrightarrow\; y^2 = 3y \;\Longrightarrow\; y(y - 3) = 0 \;\Longrightarrow\; y = 0 \text{ ou } y = 3.

Passo 3

No intervalo 0 \le y \le 3, o limite esquerdo de x é \tfrac{y^2}{9} e o direito é \tfrac{y}{3}. Assim, a área vale
\text{Área} = \int_{y=0}^{y=3}\Bigl(x_{\text{direita}}(y) - x_{\text{esquerda}}(y)\Bigr)\,dy = \int_{0}^{3}\Bigl(\tfrac{y}{3} - \tfrac{y^2}{9}\Bigr)\,dy.Á

Passo 4

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{3}\frac{y}{3}\,dy = \frac{1}{3}\,\int_{0}^{3}y\,dy = \frac{1}{3}\,\cdot\frac{y^2}{2}\Bigl|_{0}^{3} = \frac{1}{3}\,\cdot\frac{9}{2} = \frac{3}{2},
\int_{0}^{3}\frac{y^2}{9}\,dy = \frac{1}{9}\,\int_{0}^{3}y^2\,dy = \frac{1}{9}\,\cdot\frac{y^3}{3}\Bigl|_{0}^{3} = \frac{1}{9}\,\cdot\frac{27}{3} = 1.
Logo,
\text{Área} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}.Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é \tfrac{1}{2}.

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