(2.0 pontos) Resolva:
y^{\prime \prime}(x)+y^{\prime}(x)-2 y(x)=3 x
CÁLCULO:
Resp: y(x)=

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(x)+y'(x)-2\,y(x)=3x.
O método consiste em achar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

A parte homogênea é
y''+y'-2y=0.
A equação característica é
r^2 + r - 2 = 0,
cuja fatoração (r+2)(r-1)=0 dá raízes r=1 e r=-2. Logo, a solução geral homogênea é
y_h(x)=C_1e^x + C_2e^{-2x},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a solução particular y_p(x) adotamos um polinômio de grau 1, pois o termo não homogêneo é 3x. Seja
y_p(x)=A\,x + B, \quad y_p'(x)=A, \quad y_p''(x)=0.
Substituindo em y''+y'-2y=3x obtém-se
0 + A - 2\,(A x + B) = 3x \quad\Longrightarrow\quad -2A\,x + (A-2B)=3x.
Igualando coeficientes de x e de termo constante:
-2A=3 \quad\Longrightarrow\quad A=-\tfrac32,
A-2B=0 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac32-2B=0 \quad\Longrightarrow\quad B=-\tfrac34.
Portanto,
y_p(x)=-\tfrac32\,x-\tfrac34.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma de y_h e y_p:
y(x)=C_1e^x + C_2e^{-2x} - \tfrac32\,x - \tfrac34.

Resposta

y(x)=C_1e^x + C_2e^{-2x} - \tfrac32\,x - \tfrac34.

Exercícios relacionados