(1.0 pontos) Dada equação
y^{\prime \prime}(x)-5 y^{\prime}(x)+6 y(x)=F(x)
Sabendo que y(x)=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{3 x}+\frac{x^{2}}{3}+\frac{5 x}{9}+\frac{5}{27} é sua solução geral, determine F(x)

CÁLCULO:

Resp: F(x)=

Passo 1

O enunciado dá a equação não homogênea
y''(x)-5\,y'(x)+6\,y(x)=F(x)
e informa que a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}+\frac{x^{2}}{3}+\frac{5x}{9}+\frac{5}{27}.
O conteúdo aqui é identificar a parte particular
\displaystyle y_{p}(x)=\frac{x^{2}}{3}+\frac{5x}{9}+\frac{5}{27}
e calcular F(x)=\bigl(y_{p}''-5y_{p}'+6y_{p}\bigr), já que a parte homógenea é aniquilada pelo operador linear.

Passo 2

Calculemos as derivadas de
\displaystyle y_{p}(x)=\frac{x^{2}}{3}+\frac{5x}{9}+\frac{5}{27}:
y_{p}'(x)=\frac{2}{3}x+\frac{5}{9},
y_{p}''(x)=\frac{2}{3}.

Passo 3

Aplique o operador linear em y_{p}:
y_{p}''-5y_{p}'+6y_{p} =\frac{2}{3}-5\Bigl(\frac{2}{3}x+\frac{5}{9}\Bigr) +6\Bigl(\frac{x^{2}}{3}+\frac{5x}{9}+\frac{5}{27}\Bigr).

Passo 4

Distribuindo e somando termos semelhantes:
-5\Bigl(\frac{2}{3}x+\frac{5}{9}\Bigr)=-\frac{10}{3}x-\frac{25}{9},
6\Bigl(\frac{x^{2}}{3}+\frac{5x}{9}+\frac{5}{27}\Bigr) =2x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{10}{9}.
Logo,
F(x) = \frac{2}{3} -\frac{10}{3}x-\frac{25}{9} +2x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{10}{9}.

Passo 5

Os termos em x se cancelam e os constantes somam
\tfrac{2}{3}-\tfrac{25}{9}+\tfrac{10}{9}=-1,
ficando
F(x)=2x^{2}-1.

Resposta

F(x)=2x^{2}-1

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