Sendo y=y(x), resolva :
y^{\prime}-y^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' - y^2 = 0
onde y = y(x). O conteúdo aqui é equação separável, e vamos separar variáveis para depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo em forma separável, temos
y' = y^2 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = y^2 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{dy}{y^2} = dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y^2}\,dy = \int 1\,dx
\,-\frac{1}{y} = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, obtemos
\frac{1}{y} = -\bigl(x + C\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y(x) = -\frac{1}{x + C}.
Além disso, note que y\equiv 0 também satisfaz a equação original.

Resposta

A solução geral é
y(x) = -\frac{1}{x + C}
com C constante arbitrária, mais a solução trivial y(x)\equiv 0.

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