Sendo y=y(x), resolva :
y^{\prime}-4 y=e^{4 x} x^{4}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de 1ª ordem
y' - 4y = e^{4x}x^4
e pede a solução geral y=y(x). Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = e^{\int -4\,dx} = e^{-4x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x), tornamos o lado esquerdo uma derivada exata.

Passo 3

Após multiplicar, obtemos
e^{-4x}y' -4e^{-4x}y = x^4,
que reconhecemos como
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-4x}y\bigr) = x^4.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{-4x}y\bigr)\,dx = \int x^4\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{-4x}y = \frac{x^5}{5} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y e multiplicando por e^{4x}, obtemos a solução geral:
y = e^{4x}\Bigl(\frac{x^5}{5} + C\Bigr) = \frac{x^5}{5}e^{4x} + Ce^{4x}.

Resposta

y(x) = \frac{x^5}{5}e^{4x} + Ce^{4x}.

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