Exercício 1

Avalie se a sequência xn=(-1)^nn é, ou não, convergente.

Passo 1

A questão pede para verificar se a sequência xn = (-1)^nn é convergente. O conteúdo aqui é limite de sequência e vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), além do fato conhecido de que limntoinftytfrac1n = 0.

Passo 2

Observe que para todo n vale
-tfrac1n <= tfrac(-1)^nn <= tfrac1n ,
pois (-1)^n é sempre pm1. Essas desigualdades nos dão uma sequência inferior an = -1/n e uma superior cn = 1/n.
Sabemos que
limntoinfty an = limntoinftyl(-tfrac1nr) = 0, limntoinfty cn = limntoinftytfrac1n = 0

Passo 3

Pelo Teorema do Confronto, como an <= xn <= cn e ambos an e cn convergem para o mesmo valor 0, segue que xn também converge para 0.

Resposta

A sequência é convergente e limntoinfty xn = 0.

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