- ( 2,0 pontos) Dada a superficie
determine:
a) O plano tangente à superficie no ponto
;
b) Utilizando diferencial, calcule o valor aproximado de
quando
e
8,2.
a) O plano tangente à superficie no ponto
b) Utilizando diferencial, calcule o valor aproximado de
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e o ponto
. Pedido:
(a) Determinar o plano tangente à superfície no ponto .
(b) Usando diferencial (aproximação linear), calcular o valor aproximado de quando
e
.
(a) Determinar o plano tangente à superfície no ponto
(b) Usando diferencial (aproximação linear), calcular o valor aproximado de
Informações relevantes fornecidas:
- A função de duas variáveis é
e a superfície é . - O ponto de tangência é
. - Para (b) serão usados pequenos incrementos em
e : , .
Passo 2
Fórmula do plano tangente e o que cada coisa significa.
Se
é diferenciável em
, o plano tangente em
é dado por
Explicando cada símbolo:
-
é a derivada parcial de em relação a , avaliada em . Mede a inclinação da superfície quando se varia mantendo fixo. -
é a derivada parcial em relação a , avaliada em . Mede a inclinação quando se varia mantendo fixo. -
e são os deslocamentos a partir do ponto de tangência. -
é a altura no ponto de tangência.
Vou calcular
e
para substituir na fórmula.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de
.
Escrevendo como potência:
Aplicando a regra da cadeia e a derivada de potência:
Comentário pedagógico: a regra usada foi: se
então
; como
, multiplica-se pela derivada de
em relação a
(ou
), que é
(ou
).
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Primeiro calcular a raiz
Logo
Agora substituir na fórmula do plano tangente:
Substituindo
,
,
e os valores das derivadas,
Se desejar simplificar a expressão, expandindo os termos constantes:
Calculando a constante:
. Assim a forma simplificada é
Passo 5
Conceito de diferencial e aproximação linear (como usar na prática).
A aproximação linear (diferencial) de
em
diz que, para pequenos incrementos
e
,
onde
,
e
. A aproximação é boa quando
e
são pequenos.
Passo 6
Aplicar a diferencial ao caso pedido:
e
.
Calcular os incrementos a partir de
:
Usar
e
. Então
Calculemos passo a passo:
Somando:
Portanto a aproximação para
é
Comentário final curto: como os incrementos são pequenos (
e
), a aproximação linear é adequada e nos dá
com boa precisão para uso em prova.
Resposta
(a)
(b)