1. ( 2,0 pontos) Dada a superficie
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
determine:
a) O plano tangente à superficie no ponto P(-6,8,10);
b) Utilizando diferencial, calcule o valor aproximado de z quando x=-5,9 e y= 8,2.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e o ponto P(-6,8,10). Pedido:
(a) Determinar o plano tangente à superfície no ponto P.
(b) Usando diferencial (aproximação linear), calcular o valor aproximado de z quando x=-5,9 e y=8,2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função de duas variáveis é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e a superfície é z=f(x,y).
  • O ponto de tangência é (x_0,y_0,z_0)=(-6,8,10).
  • Para (b) serão usados pequenos incrementos em x e y: x=-5,9, y=8,2.

Passo 2

Fórmula do plano tangente e o que cada coisa significa.
Se z=f(x,y) é diferenciável em (x_0,y_0), o plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é dado por
z = z_0 + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Explicando cada símbolo:
  • f_x(x_0,y_0) é a derivada parcial de f em relação a x, avaliada em (x_0,y_0). Mede a inclinação da superfície quando se varia x mantendo y fixo.
  • f_y(x_0,y_0) é a derivada parcial em relação a y, avaliada em (x_0,y_0). Mede a inclinação quando se varia y mantendo x fixo.
  • x-x_0 e y-y_0 são os deslocamentos a partir do ponto de tangência.
  • z_0=f(x_0,y_0) é a altura no ponto de tangência.
Vou calcular f_x e f_y para substituir na fórmula.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Escrevendo como potência:
f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
Aplicando a regra da cadeia e a derivada de potência:
f_x(x,y)=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
f_y(x,y)=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Comentário pedagógico: a regra usada foi: se g(u)=u^{1/2} então g'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}; como u=x^2+y^2, multiplica-se pela derivada de u em relação a x (ou y), que é 2x (ou 2y).

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (x_0,y_0)=(-6,8).
Primeiro calcular a raiz
\sqrt{x_0^{2}+y_0^{2}}=\sqrt{(-6)^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.
Logo
f_x(-6,8)=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}, \qquad f_y(-6,8)=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.
Agora substituir na fórmula do plano tangente:
z = z_0 + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Substituindo z_0=10, x_0=-6, y_0=8 e os valores das derivadas,
z = 10 + \left(-\frac{3}{5}\right)(x+6) + \left(\frac{4}{5}\right)(y-8).
Se desejar simplificar a expressão, expandindo os termos constantes:
z = 10 -\frac{3}{5}x -\frac{18}{5} +\frac{4}{5}y -\frac{32}{5}.
Calculando a constante: 10-\dfrac{18}{5}-\dfrac{32}{5}=10-\dfrac{50}{5}=10-10=0. Assim a forma simplificada é
z = -\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y.

Passo 5

Conceito de diferencial e aproximação linear (como usar na prática).
A aproximação linear (diferencial) de f em (x_0,y_0) diz que, para pequenos incrementos \Delta x e \Delta y,
\Delta z \approx f_x(x_0,y_0)\,\Delta x + f_y(x_0,y_0)\,\Delta y,
onde \Delta x = x-x_0, \Delta y = y-y_0 e \Delta z = z(x,y)-z_0. A aproximação é boa quando \Delta x e \Delta y são pequenos.

Passo 6

Aplicar a diferencial ao caso pedido: x=-5,9 e y=8,2.
Calcular os incrementos a partir de (x_0,y_0)=(-6,8):
\Delta x = -5,9 - (-6) = 0,1, \qquad \Delta y = 8,2 - 8 = 0,2.
Usar f_x(-6,8)=-\dfrac{3}{5} e f_y(-6,8)=\dfrac{4}{5}. Então
\Delta z \approx \left(-\frac{3}{5}\right)\cdot 0,1 + \left(\frac{4}{5}\right)\cdot 0,2.
Calculemos passo a passo:
\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot 0,1 = -\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{10} = -\frac{3}{50} = -0,06,
\left(\frac{4}{5}\right)\cdot 0,2 = \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{10} = \frac{8}{50} = 0,16.
Somando:
\Delta z \approx -0,06 + 0,16 = 0,10.
Portanto a aproximação para z é
z \approx z_0 + \Delta z = 10 + 0,10 = 10,1.
Comentário final curto: como os incrementos são pequenos ( 0,1 e 0,2), a aproximação linear é adequada e nos dá z com boa precisão para uso em prova.

Resposta

(a) z = -\dfrac{3}{5}x + \dfrac{4}{5}y
(b) z \approx 10,1

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