1. (2,0 pontos) Sejam f(x, y)=\operatorname{sen} x e^{y} e g(x, y)=\operatorname{cosye} e^{x}. Determine:
    a) As derivadas parciais de 1^{\text {a }} ordem de ordem de f e de g;

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede as derivadas parciais de primeira ordem de cada uma. As funções fornecidas são (fiz uma pequena interpretação do texto “cosye” como “cos y”):
  • f(x,y)=\sin x\, e^{y}.
  • g(x,y)=\cos y\, e^{x}.
O que se pede:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Calcular \dfrac{\partial g}{\partial x} e \dfrac{\partial g}{\partial y}.

Passo 2

Breve lembrança do que é derivada parcial (não se assuste, é só isso): para calcular \dfrac{\partial}{\partial x} de uma função de duas variáveis, trata-se y como constante e diferencia-se em relação a x. Analogamente, \dfrac{\partial}{\partial y} trata x como constante e diferencia em relação a y.
Também usamos estas regras simples de derivação que já conheces (vou explicitar):
  • Se h(x)=\sin x então h'(x)=\cos x.
  • Se k(y)=e^{y} então k'(y)=e^{y}.
  • Derivada de um produto em que um fator é constante: se C é constante então \dfrac{d}{dx}(C\cdot u(x))=C\cdot u'(x).
No caso de funções produto em duas variáveis como \sin x\, e^{y}, ao derivar em relação a x o fator e^{y} é constante; ao derivar em relação a y o fator \sin x é constante.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} para f(x,y)=\sin x\, e^{y}.
Tratando y como constante, e^{y} é uma constante multiplicativa. Assim aplicamos a regra:
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{y}\cdot\frac{d}{dx}(\sin x) = e^{y}\cdot\cos x.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos x\, e^{y}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} para f(x,y)=\sin x\, e^{y}.
Agora tratamos x como constante, então \sin x é constante e
\frac{\partial f}{\partial y} = \sin x\cdot\frac{d}{dy}(e^{y}) = \sin x\cdot e^{y}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=\sin x\, e^{y}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial g}{\partial x} para g(x,y)=\cos y\, e^{x}.
Tratando y como constante, \cos y é constante e
\frac{\partial g}{\partial x} = \cos y\cdot\frac{d}{dx}(e^{x}) = \cos y\cdot e^{x}.
Portanto
\frac{\partial g}{\partial x}=\cos y\, e^{x}.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial g}{\partial y} para g(x,y)=\cos y\, e^{x}.
Agora x é constante, e^{x} é constante, e \dfrac{d}{dy}(\cos y)=-\sin y. Logo
\frac{\partial g}{\partial y} = e^{x}\cdot\frac{d}{dy}(\cos y) = e^{x}\cdot(-\sin y) = -\sin y\, e^{x}.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=\cos x\, e^{y}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\sin x\, e^{y}
\dfrac{\partial g}{\partial x}=\cos y\, e^{x}
\dfrac{\partial g}{\partial y}=-\sin y\, e^{x}

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