- (2,0 pontos) Sejam
e
. Determine:
a) As derivadas parciais de
ordem de ordem de
e de
;
a) As derivadas parciais de
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede as derivadas parciais de primeira ordem de cada uma. As funções fornecidas são (fiz uma pequena interpretação do texto “cosye” como “cos y”):
-
. -
.
O que se pede:
- Calcular
e . - Calcular
e .
Passo 2
Breve lembrança do que é derivada parcial (não se assuste, é só isso): para calcular
de uma função de duas variáveis, trata-se
como constante e diferencia-se em relação a
. Analogamente,
trata
como constante e diferencia em relação a
.
Também usamos estas regras simples de derivação que já conheces (vou explicitar):
- Se
então . - Se
então . - Derivada de um produto em que um fator é constante: se
é constante então .
No caso de funções produto em duas variáveis como
, ao derivar em relação a
o fator
é constante; ao derivar em relação a
o fator
é constante.
Passo 3
Calcular
para
.
Tratando
como constante,
é uma constante multiplicativa. Assim aplicamos a regra:
Portanto
Passo 4
Calcular
para
.
Agora tratamos
como constante, então
é constante e
Portanto
Passo 5
Calcular
para
.
Tratando
como constante,
é constante e
Portanto
Passo 6
Calcular
para
.
Agora
é constante,
é constante, e
. Logo