( \mathbf{2 , 0} pontos) Um motor Diesel V6 4.8L quatro tempos opera um ciclo ideal com taxa de compressão 18 e razão de corte 2. A pressão no início da compressão e a temperatura valem 100 kPa e 300 K , respectivamente. Determine: a) o ciclo termodinâmico em um diagrama T-s, b) o trabalho total por ciclo, c) a potência em cv quando o motor opera a 4000rpm. 1 k W=1,35962 c v. Adote: Ar como gás perfeito, c_{v}=0.718 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot K, c_{p}=1.005 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot K, k=c_{p} / c_{v}

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
Dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Motor: V6, deslocamento total }4{,}8\\ \text{L} \Rightarrow \text{deslocamento por cilindro }V_d=\frac{4{,}8}{6}=0{,}8\\ \text{L}=8{,}0\times10^{-4}\\ \text{m}^3,\\[4pt] &\text{Ciclo: Diesel ideal (quatro tempos)},\\[4pt] &\text{taxa de compressão }r=\frac{V_1}{V_2}=18,\\[4pt] &\text{razão de corte }r_c=\frac{V_3}{V_2}=2,\\[4pt] &p_1=100\\ \text{kPa},\quad T_1=300\\ \text{K},\\[4pt] &c_v=0{,}718\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\cdot\text{K}),\quad c_p=1{,}005\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\cdot\text{K}),\\[4pt] &k=\frac{c_p}{c_v},\quad R=c_p-c_v=0{,}287\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\cdot\text{K}). \end{aligned}ãã
O que o enunciado pede:
a) representar o ciclo termodinâmico em um diagrama T\!-\!s (descrição do formato e posições relativas dos processos);
b) o trabalho total por ciclo;
c) a potência em \text{cv} quando o motor opera a 4000\\ \text{rpm}.
Obs.: vou interpretar “trabalho total por ciclo” como o trabalho líquido por ciclo do motor inteiro (os 6 cilindros), mas também mostrarei o trabalho por cilindro para clareza.]

Passo 2

Primeiro calculo volumes e massa de ar por cilindro (vamos precisar para energia por ciclo).
Raciocínio passo a passo:
  • O volume morto máximo de cada cilindro é V_1 e o mínimo é V_2. O deslocamento por cilindro é V_d=V_1-V_2.
  • Com r=\dfrac{V_1}{V_2} temos V_2=\dfrac{V_1}{r} e portanto
V_d=V_1\Big(1-\frac{1}{r}\Big)\quad\Rightarrow\quad V_1=\frac{V_d}{1-\dfrac{1}{r}}=\frac{V_d\,r}{r-1}.
Calculemos numericamente:
V_1=\frac{8{,}0\times10^{-4}\cdot 18}{18-1} = 8{,}0\times10^{-4}\cdot\frac{18}{17}=8{,}470588\!\times\!10^{-4}\\ \text{m}^3.
V_2=\frac{V_1}{18}=4{,}705882\!\times\!10^{-5}\\ \text{m}^3.
Agora a massa de ar por cilindro usando a equação dos gases ideais
p_1 V_1 = m R T_1,
onde p_1 em \text{kPa}, V_1 em \text{m}^3 e R em \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K}) (assim pV dá kJ). Então
m=\frac{p_1 V_1}{R T_1}=\frac{100\cdot 8{,}470588\times10^{-4}}{0{,}287\cdot 300}.
Faço a conta:
p_1V_1=100\cdot 8{,}470588\times10^{-4}=0{,}08470588\\ \text{kJ}, \quad R T_1=0{,}287\cdot300=86{,}1\\ \text{kJ}/\text{kg},
m=\frac{0{,}08470588}{86{,}1}=9{,}84133\times10^{-4}\\ \text{kg}\\ (\text{por cilindro}).
Comentário amigo: então cada cilindro tem menos de 1\\ \text{g} de ar por ciclo — isso é normal em motores pequenos por cilindro.

Passo 3

Agora determinamos as temperaturas nos estados do ciclo (1,2,3,4) usando as relações do ciclo Diesel.
Processo 1\to2: compressão adiabática reversível (isentrópica). A relação útil é
T_2 = T_1 \, r^{\,k-1},
onde k=\dfrac{c_p}{c_v}. Com nossos valores k\approx \dfrac{1{,}005}{0{,}718}\approx1{,}4.
Calcule:
T_2 = 300\cdot 18^{\,0{,}4}=300\cdot 3{,}176016\approx 952{,}80\\ \text{K}.
Processo 2\to3: aquecimento a pressão constante até razão de corte r_c=V_3/V_2=2. Em processo isobárico T e V são proporcionais, logo
T_3 = T_2\cdot r_c = 952{,}80\cdot 2 = 1905{,}61\\ \text{K}.
Processo 3\to4: expansão adiabática reversível (isentrópica) até V_4=V_1. A relação é
T_4 = T_3\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\,k-1}.
Mas V_3= r_c V_2 = r_c\frac{V_1}{r} = \frac{r_c}{r}V_1, então \dfrac{V_3}{V_4}=\dfrac{r_c}{r}. Assim
T_4 = T_3\left(\frac{r_c}{r}\right)^{\,k-1}.
Numérico:
\frac{r_c}{r}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9},\quad (1/9)^{0{,}4}=0{,}415449,
T_4 = 1905{,}61\cdot 0{,}415449 \approx 792{,}05\\ \text{K}.
Resumo das temperaturas (valores importantes que vamos usar depois):
T_1=300{,}00\\ \text{K},\quad T_2\approx952{,}80\\ \text{K},\quad T_3\approx1905{,}61\\ \text{K},\quad T_4\approx792{,}05\\ \text{K}.

Passo 4

Desenho e interpretação do diagrama T\!-\!s (parte a).
Explicação didática do que cada processo faz no diagrama T\!-\!s:
  • Em um diagrama T\!-\!s, um processo isentrópico aparece como uma linha vertical (varia T e s constante) porque s (entropia) não muda. Assim:
    • 1\to2: adiabático reversível de compressão — subida vertical (temperatura aumenta, s constante).
    • 2\to3: aquecimento a pressão constante — aqui há entrada de calor e a entropia aumenta; no diagrama é uma curva para a direita (aumenta s) com T subindo também.
    • 3\to4: expansão adiabática reversível — descida vertical (isentropo).
    • 4\to1: resfriamento a volume constante — rejeição de calor que diminui T e diminui s retornando ao ponto inicial.
  • Portanto o formato é um “laço” com dois ramos verticais (1–2 e 3–4) e dois ramos horizontais/oblíquos conectando (2–3 com aumento de s e 4–1 com diminuição de s).
Para colocar números no eixo s (por kg) podemos calcular as variações de entropia por unidade de massa:
  • Processo 2\to3 (isobárico): \Delta s_{2\to3}=c_p\ln\!\big(\dfrac{T_3}{T_2}\big).
    Como T_3/T_2= r_c =2,
\Delta s_{2\to3}=c_p\ln 2 = 1{,}005\cdot 0{,}693147 =0{,}6966\\ \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K}).
  • O processo 3\to4 é isentrópico, logo s_4=s_3. Depois 4\to1 (a volume constante) tem \Delta s_{4\to1}=c_v\ln\!\big(\dfrac{T_1}{T_4}\big) que fecha o ciclo (soma das variações = 0). Portanto, no T\!-\!s podemos posicionar:
s_1=s_2\quad(\text{valor de referência}),\quad s_3=s_4=s_1+0{,}6966\\ \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K}).ê
Assim a figura mental (ou desenho que você faria na prova) tem:
  • Ponto 1 (baixo, T_1, s_1);
  • Subida vertical para 2 (mesmo s, T_2 maior);
  • Curva para a direita e cima até 3 (aumenta s em 0{,}6966);
  • Descida vertical até 4 (mesmo s de 3, mas T_4 menor);
  • Volta para 1 com curva para a esquerda e para baixo a V= constante, fechando o ciclo.

Passo 5

Cálculo das trocas de calor e do trabalho por ciclo (parte b), com explicação das fórmulas.
Em um ciclo de potência estacionário, o trabalho líquido por ciclo por unidade de massa é
w_{\text{net}} = q_{in}-q_{out},
onde q_{in} é o calor adicionado por unidade de massa e q_{out} o calor rejeitado por unidade de massa. Para o ciclo Diesel ideal:
  • Calor adicionado (processo 2\to3, isobárico):
q_{in}=c_p\,(T_3-T_2).
  • Calor rejeitado (processo 4\to1, isocórico):
q_{out}=c_v\,(T_4-T_1).
Faço os cálculos por cilindro (valores por massa e depois multiplico pela massa m).
Calor por unidade de massa:
q_{in}=1{,}005\cdot(1905{,}61-952{,}80)=1{,}005\cdot 952{,}81=957{,}5688\\ \text{kJ}/\text{kg},
q_{out}=0{,}718\cdot(792{,}05-300)=0{,}718\cdot 492{,}05=353{,}364\\ \text{kJ}/\text{kg}.
Logo
w_{\text{net, per mass}} = q_{in}-q_{out}=957{,}5688-353{,}364=604{,}2048\\ \text{kJ}/\text{kg}.
Agora por cilindro usamos m (massa de ar por cilindro):
W_{\text{net, por cilindro}} = m\cdot w_{\text{net, per mass}} = 9{,}84133\times10^{-4}\cdot 604{,}2048 \approx 0{,}59496\\ \text{kJ} \\ (\text{por ciclo, por cilindro}).
Trabalho total por ciclo do motor inteiro (6 cilindros) — como pedido:
W_{\text{net, total por ciclo}} = 6\cdot 0{,}59496\approx 3{,}5698\\ \text{kJ}\\ (\text{por ciclo do motor}).
Observação explicativa: eu calculei primeiro por massa porque as fórmulas termodinâmicas q=c_p\Delta T e q=c_v\Delta T dão calor por unidade de massa; para converter em energia absoluta por cilindro multipliquei pela massa de ar naquele cilindro.

Passo 6

Cálculo da potência quando o motor gira a 4000\\ \text{rpm} (parte c).
Passo a passo:
  • Em motor quatro tempos cada cilindro realiza um ciclo útil a cada duas rotações. Logo ciclos por segundo por cilindro:
\text{ciclos/s por cilindro}=\frac{\text{rpm}}{60}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\text{rpm}}{120}.
Para \text{rpm}=4000 temos \dfrac{4000}{120}=33{,}3333\\ \text{ciclos/s por cilindro}.
  • O motor tem 6 cilindros, então o número total de ciclos por segundo (energia liberada por segundo = potência) é
N_{\text{ciclos/s, total}}=6\cdot\frac{4000}{120}=200\\ \text{ciclos/s}.
  • Cada ciclo do motor inteiro entrega W_{\text{net, total por ciclo}}=3{,}5698\\ \text{kJ}. Portanto a potência em kW é
P = W_{\text{net, total por ciclo}}\cdot (\text{ciclos/s}) = 3{,}5698\\ \text{kJ}\cdot200\\ \text{s}^{-1}=713{,}96\\ \text{kJ/s}=713{,}96\\ \text{kW}.
ATENÇÃO: O resultado acima equivale a multiplicar o trabalho por ciclo do motor inteiro (6 cilindros) por quantos ciclos por segundo o motor executa. Mas é mais direto e menos propenso a confusão fazer:
P = W_{\text{net, por cilindro}}\cdot 6 \cdot \frac{\text{rpm}}{120} =0{,}59496\cdot 6\cdot 33{,}3333 =118{,}991\\ \text{kW}.
Aqui surgiu uma aparente contradição entre os dois caminhos: o primeiro deu 713{,}96\\ \text{kW} e o segundo 118{,}991\\ \text{kW}. Vamos esclarecer a diferença: eu cometi um deslize ao usar W_{\text{net, total por ciclo}}=3{,}5698\\ \text{kJ} e multiplicar por 200 ciclos/s — isso conta cada cilindro 6 vezes por ciclo porque a definição de “ciclo do motor inteiro” já era confusa. A forma correta e consistente é usar o trabalho por cilindro vezes o número de cilindros vezes os ciclos por segundo por cilindro. Portanto o valor correto é o segundo caminho:
Cálculo correto e consistente:
P = W_{\text{net, por cilindro}}\cdot 6 \cdot \frac{4000}{120}=0{,}59496\cdot 6\cdot 33{,}3333 =118{,}991\\ \text{kW}.
(Quem lê: para não se enrolar, pense sempre “energia liberada por um cilindro por ciclo” × “quantos ciclos por segundo esse cilindro faz” × “quantos cilindros”.)
Finalmente convertemos para cavalos-vapor ( \text{cv}) com 1\\ \text{kW}=1{,}35962\\ \text{cv}:
P_{\text{cv}} = 118{,}991\cdot 1{,}35962 \approx 161{,}77\\ \text{cv}.
Comentário motivacional: tá tudo certo — deu cerca de 162\\ \text{cv}. Você já está quase lá!

Resposta

a) No diagrama T\!-\!s: 1\to2 isentrópico (vertical para cima), 2\to3 aquecimento a p= constante (curva para a direita, aumento de s de 0{,}6966\\ \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K})), 3\to4 isentrópico (vertical para baixo), 4\to1 rejeição a V= constante fechando o ciclo. Numericamente s_1=s_2 e s_3=s_4=s_1+0{,}6966\\ \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K}).
b) Trabalho líquido por ciclo: por cilindro W_{\text{net}} \approx 0{,}59496\\ \text{kJ}; trabalho total (6 cilindros) por ciclo W_{\text{net,total}} \approx 3{,}5698\\ \text{kJ}.
c) Potência a 4000\\ \text{rpm}: P\approx 118{,}99\\ \text{kW}\approx 161{,}77\\ \text{cv}.

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