( 2.0 pontos) Dado a função
f(x)=x^3-xx^3-6 x^2+5 x
determine, caso existam, as assíntotas horizontais ao gráfico dessa função.

Passo 1

A questão apresenta a função f(x)=x^3-xx^3-6x^2+5x e pede para encontrar assíntotas horizontais, ou seja, valores de y=L para os quais limxto+inftyf(x)=L ou limxto-inftyf(x)=L. Vamos usar teoria de limites no infinito para funções racionais.

Passo 2

Para funções racionais em que numerador e denominador têm o mesmo grau (aqui grau 3 em ambos), sabe-se que limxtopminftyf(x) é igual ao quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. No nosso caso, o coeficiente de x^3 no numerador é 1 e no denominador também é 1.

Passo 3

Para deixar isso explícito, fatoramos x^3:
f(x)=x^3l(1-1/x^2r)x^3l(1-6/x+5/x^2r)=1-1/x^21-6/x+5/x^2
Quando xtopminfty, os termos 1/x, 1/x^2 vão a zero, restando:
limxtopminftyf(x)=1-01-0+0=1

Passo 4

Como os limites em +infty e em -infty são iguais a 1, a única assíntota horizontal da curva de f(x) é y=1.

Resposta

y = 1

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