( 4,0 pontos) Determine o que se pede:
(a) Estude a continuidade da função f(x)=raiz[3]xraiz9-x^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos estudar a continuidade da função $ f(x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{9 - x^{2}}} $. Isso envolve verificar para quais valores de $ x $ a função está bem definida e se ela é contínua nesses pontos. Para fazer isso, vamos analisar o domínio da função e identificar possíveis pontos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Olhando para a função $ f(x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{9 - x^{2}}} $, temos duas partes importantes:
  1. Numerador: $ \sqrt[3]{x} $ é a raiz cúbica de $ x $. A raiz cúbica está definida para todos os números reais, então não impõe restrições ao domínio.
  2. Denominador: $ \sqrt{9 - x^{2}} $ é a raiz quadrada de $ 9 - x^{2} $. A raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero.

Passo 3

Vamos analisar a condição do denominador:
9 - x^2 >= 0
Resolvendo essa inequação:
x^2 <= 9
-3 <= x <= 3
Então, para que o denominador esteja definido, $ x $ deve estar entre -3 e 3, inclusive.

Passo 4

Agora, verificamos se o denominador pode ser zero dentro desse intervalo. Se $ 9 - x^{2} = 0 $:
9 - x^2 = 0
x^2 = 9
Então, quando $ x = -3 $ ou $ x = 3 $, o denominador é zero, o que faz a função não estar definida nesses pontos (pois não podemos dividir por zero).

Passo 5

Resumindo, o domínio da função $ f(x) $ é $ -3 < x < 3 $. Nos pontos $ x = -3 $ e $ x = 3 $, a função não está definida devido à divisão por zero, indicando possíveis descontinuidades nesses pontos.

Passo 6

Agora, vamos estudar a continuidade da função dentro do domínio $ -3 < x < 3 $. A função é composta por operações contínuas (raiz cúbica, divisão, raiz quadrada) nos quais não há problemas dentro desse intervalo. Portanto, $ f(x) $ é contínua para todos os $ x $ em $ -3 < x < 3 $.

Passo 7

Nos pontos $ x = -3 $ e $ x = 3 $, a função não está definida, o que significa que há descontinuidades nesses pontos. Essas descontinuidades são do tipo vertical, já que a função tende ao infinito próximo desses valores.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{9 - x^{2}}} $ é contínua para todos os valores de $ x $ no intervalo $ -3 < x < 3 $. Nos pontos $ x = -3 $ e $ x = 3 $, a função não está definida, apresentando descontinuidades verticais.

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