(2 pontos) Admintindo-se que
. Suponha os seguintes valores:
-3.83
-1.88
-1.55
-12.64
-0.4
-18.87
4.98
-9.52
-14.06
13.56
Determine a quantidade pivotal para obter um intervalo de confiança de
para a variância com a média desconhecida, com os dados acima.
-3.83 | -1.88 | -1.55 | -12.64 | -0.4 | -18.87 | 4.98 | -9.52 | -14.06 | 13.56 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma distribuição normal $ X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right) $ com alguns dados específicos e precisa encontrar a quantidade pivotal para construir um intervalo de confiança de 95% para a variância $ \sigma^{2} $, sabendo que a média $ \mu $ é desconhecida. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição chi-quadrado e variância amostral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a média $ \mu $ é desconhecida, a variância amostral $ S^{2} $ é um bom estimador para $ \sigma^{2} $. A variância amostral é calculada assim:
onde $ \overline{X} $ é a média da amostra e $ n $ é o número de observações.
Passo 3
Agora, como a distribuição dos dados é normal, sabemos que a quantidade $ \frac{(n-1)S{2}}{\sigma{2}} $ segue uma distribuição qui-quadrado ($ \chi^{2} $) com $ n-1 $ graus de liberdade. Isso é super útil porque as distribuições qui-quadrado são bem estudadas e existem tabelas para elas.
Passo 4
A quantidade pivotal é justamente essa relação que criamos, porque ela envolve apenas $ S^{2} $ e $ \sigma^{2} $, sem depender de parâmetros desconhecidos como $ \mu $. Então, a quantidade pivotal que vamos usar para montar o intervalo de confiança é:
Resposta
A quantidade pivotal para obter um intervalo de confiança de 95% para a variância $ \sigma^{2} $ é: