(2 pontos) Admintindo-se que llllllllll hline-3.83 & -1.88 & -1.55 & -12.64 & -0.4 & -18.87 & 4.98 & -9.52 & -14.06 & 13.56 hline . Suponha os seguintes valores:
-3.83 -1.88 -1.55 -12.64 -0.4 -18.87 4.98 -9.52 -14.06 13.56
Determine a quantidade pivotal para obter um intervalo de confiança de 95 % para a variância com a média desconhecida, com os dados acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma distribuição normal $ X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right) $ com alguns dados específicos e precisa encontrar a quantidade pivotal para construir um intervalo de confiança de 95% para a variância $ \sigma^{2} $, sabendo que a média $ \mu $ é desconhecida. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição chi-quadrado e variância amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a média $ \mu $ é desconhecida, a variância amostral $ S^{2} $ é um bom estimador para $ \sigma^{2} $. A variância amostral é calculada assim:
mu
onde $ \overline{X} $ é a média da amostra e $ n $ é o número de observações.

Passo 3

Agora, como a distribuição dos dados é normal, sabemos que a quantidade $ \frac{(n-1)S{2}}{\sigma{2}} $ segue uma distribuição qui-quadrado ($ \chi^{2} $) com $ n-1 $ graus de liberdade. Isso é super útil porque as distribuições qui-quadrado são bem estudadas e existem tabelas para elas.

Passo 4

A quantidade pivotal é justamente essa relação que criamos, porque ela envolve apenas $ S^{2} $ e $ \sigma^{2} $, sem depender de parâmetros desconhecidos como $ \mu $. Então, a quantidade pivotal que vamos usar para montar o intervalo de confiança é:
S^2

Resposta

A quantidade pivotal para obter um intervalo de confiança de 95% para a variância $ \sigma^{2} $ é:
sigma^2

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