( 0,7 pontos) A decomposição térmica do etano em etileno, metano e hidrogênio ocorre conforme o seguinte mecanismo:
\begin{aligned} & \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \rightarrow 2 \mathrm{CH}_{3} \cdot \\\ & \mathrm{CH}_{3} \cdot+\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \rightarrow \mathrm{CH}_{4}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \cdot \\\ & \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \cdot \rightarrow \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}+\mathrm{H} \cdot \\\ & \mathrm{H}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \rightarrow \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}+\mathrm{H}_{2} \\\ & \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \cdot \rightarrow \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{10} \end{aligned}
Deduza a expressão de taxa para formação do etileno em função da concentração de etano.

Passo 1

O enunciado dá o ciclo de reação em cadeia para a decomposição térmica do etano \mathrm{C}_2\mathrm{H}_6 e pede a taxa de formação do etileno \mathrm{C}_2\mathrm{H}_4 em função de [\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6]. Vamos usar a hipótese de estado estacionário para os radicais \mathrm{CH}_3\cdot, \mathrm{C}_2\mathrm{H}_5\cdot e \mathrm{H}\cdot, definindo constantes de velocidade k_1,\dots,k_5 para as etapas 1 a 5, e então calcular
r_{\mathrm{C}_2\mathrm{H}_4} = v_3 + v_4
onde v_3 e v_4 são, respectivamente, as velocidades das etapas que formam \mathrm{C}_2\mathrm{H}_4.

Passo 2

Aplicando estado estacionário a \mathrm{CH}_3\cdot: produção pela etapa 1 e consumo pela etapa 2:
2\,k_1[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6] \;-\; k_2[\mathrm{CH}_3\cdot][\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6]\;=\;0
Logo
[\mathrm{CH}_3\cdot] \;=\;\frac{2\,k_1}{k_2}\,.

Passo 3

Estado estacionário para \mathrm{C}_2\mathrm{H}_5\cdot: produção na etapa 2 e consumo nas etapas 3 e 5:
k_2[\mathrm{CH}_3\cdot][\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6] \;-\;(k_3 + k_5)[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_5\cdot]\;=\;0
Substituindo [\mathrm{CH}_3\cdot]:
[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_5\cdot] =\frac{k_2\,(2 k_1/k_2)\,[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6]}{\,k_3 + k_5\,} =\frac{2\,k_1\,[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6]}{k_3 + k_5}\,.

Passo 4

Estado estacionário para \mathrm{H}\cdot: produção na etapa 3 e consumo na etapa 4:
k_3[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_5\cdot] \;-\; k_4[\mathrm{H}\cdot][\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6]\;=\;0
Logo
[\mathrm{H}\cdot] =\frac{k_3[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_5\cdot]}{k_4[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6]} =\frac{k_3}{k_4[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6]}\,\frac{2\,k_1[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6]}{k_3 + k_5} =\frac{2\,k_1\,k_3}{k_4\,(k_3 + k_5)}\,.

Passo 5

A taxa de formação do etileno é
r_{\mathrm{C}_2\mathrm{H}_4} = v_3 + v_4 = k_3[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_5\cdot] \;+\; k_4[\mathrm{H}\cdot][\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6].
Substituindo [\mathrm{C}_2\mathrm{H}_5\cdot] e [\mathrm{H}\cdot] encontramos
k_3\frac{2\,k_1[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6]}{k_3 + k_5} \;+\; k_4\frac{2\,k_1\,k_3}{k_4\,(k_3 + k_5)}\,[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6] =2\,\frac{k_1\,k_3}{k_3 + k_5}[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6] +2\,\frac{k_1\,k_3}{k_3 + k_5}[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6] =4\,\frac{k_1\,k_3}{k_3 + k_5}[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6].

Resposta

r_{\mathrm{C}_2\mathrm{H}_4} =\frac{4\,k_1\,k_3}{k_3 + k_5}\;[\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6].

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