(2,5 pontos). Demonstre que raiz[5]2 é irracional.

Passo 1

A questão pede para mostrar que a quinta raiz de 2 é um número irracional. O conteúdo envolvido é prova por contradição em números racionais: vamos precisar usar a definição de número racional e raciocinar que, se fosse racional em forma de fração reduzida, levaria a um absurdo.

Passo 2

Suponha, por contradição, que raiz[5]2 seja racional. Então existem inteiros coprimos p e q (com q>0) tais que
raiz[5]2 = pq
Elevando ambos os lados à quinta potência, obtemos
2 = p^5q^5
ou seja
2,q^5 = p^5

Passo 3

Da igualdade 2,q^5 = p^5 segue que p^5 é par (pois contém o fator 2) e, portanto, p é par. Escrevendo p = 2r, temos
p^5 = (2r)^5 = 32,r^5
Substituindo em 2,q^5 = p^5, vem
2,q^5 = 32,r^5
que simplifica para
q^5 = 16,r^5
Isso mostra que q^5 é par, logo q também é par. Assim, p e q têm o fator 2 em comum, contrariando a hipótese de estarem em forma irredutível.

Resposta

Como chegamos à conclusão de que p e q são ambos pares, contradizendo a ideia de fração irredutível, nossa suposição inicial falha. Portanto, raiz[5]2 é irracional.

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