(2,5 pontos). Demonstre que
é irracional.
Passo 1
A questão pede para mostrar que a quinta raiz de 2 é um número irracional. O conteúdo envolvido é prova por contradição em números racionais: vamos precisar usar a definição de número racional e raciocinar que, se fosse racional em forma de fração reduzida, levaria a um absurdo.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
seja racional. Então existem inteiros coprimos
e
(com
) tais que
Elevando ambos os lados à quinta potência, obtemos
ou seja
Passo 3
Da igualdade
segue que
é par (pois contém o fator 2) e, portanto,
é par. Escrevendo
, temos
Substituindo em
, vem
que simplifica para
Isso mostra que
é par, logo
também é par. Assim,
e
têm o fator 2 em comum, contrariando a hipótese de estarem em forma irredutível.
Resposta
Como chegamos à conclusão de que
e
são ambos pares, contradizendo a ideia de fração irredutível, nossa suposição inicial falha. Portanto,
é irracional.