Um fio condutor típico, de experiências de laboratório, é de cobre e tem o raio de secção reta igual a 0,815 \mathrm{~mm}. Calcular a velocidade de migração dos elétrons neste condutor percorrido por uma corrente de 1 A . Admitir que haja um elétron livre por átomo. Também, para o cobre considere: densidade do cobre =8,93 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e massa molecular =63,5 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a velocidade de migração (velocidade de deriva) dos elétrons no fio quando a corrente é 1\\ \mathrm{A}.
Dados fornecidos (vou listar tudo, sem resolver ainda):
\begin{aligned} &\text{raio do fio: } r=0{,}815\\ \mathrm{mm},\\\ &\text{corrente: } I=1\\ \mathrm{A},\\\ &\text{assumir: }1\\ \text{elétron livre por átomo},\\\ &\text{densidade do cobre: } \rho=8{,}93\\ \mathrm{g/cm^{3}},\\\ &\text{massa molar do cobre: } M=63{,}5\\ \mathrm{g/mol}. \end{aligned}éá
Constantes que vou usar:
e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\qquad N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 2

Entender a relação entre corrente elétrica e velocidade de deriva: em um condutor com densidade de elétrons livres n (número de elétrons por unidade de volume), área da seção reta A e velocidade de deriva média v_d, a quantidade de carga que passa por uma seção em tempo \Delta t é
\Delta Q = (n\,A\,v_d\,\Delta t)\,e.
Dividindo por \Delta t obtemos a corrente:
I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=n\,e\,A\,v_d.
Essa fórmula é a chave: ela relaciona I (conhecida) com v_d (que queremos). Aqui:
  • I é a corrente (A),
  • n é o número de elétrons livres por metro cúbico ( \mathrm{m^{-3}}),
  • e é a carga elementar ( \mathrm{C}),
  • A é a área da seção reta do fio ( \mathrm{m^{2}}),
  • v_d é a velocidade de deriva ( \mathrm{m/s}).
Assim,
v_d=\frac{I}{n\,e\,A}.

Passo 3

Calcular a área da seção reta A. Primeiro converto o raio para metros:
r=0{,}815\\ \mathrm{mm}=0{,}815\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=8{,}15\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Área de um círculo:
A=\pi r^{2}=\pi\,(8{,}15\times10^{-4})^{2}\\ \mathrm{m^{2}}.
Faço o quadrado:
r^{2}= (8{,}15\times10^{-4})^{2}=6{,}64225\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}}.
Multiplicando por \pi:
A=\pi\cdot6{,}64225\times10^{-7}\approx2{,}088\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a densidade numérica de elétrons n (elétrons por \mathrm{m^{3}}). Primeiro converto \rho e M para unidades compatíveis (SI):
\rho=8{,}93\\ \mathrm{g/cm^{3}}=8{,}93\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \qquad M=63{,}5\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0635\\ \mathrm{kg/mol}.
O número de átomos por volume (moléculas/átomos por \mathrm{m^{3}}) é \dfrac{\rho}{M} (unidade: mol/ \mathrm{m^{3}}); multiplicando por N_A obtemos o número de átomos por \mathrm{m^{3}}:
n_{\text{átomos}}=\frac{\rho}{M}\,N_A.á
Como há, por hipótese, um elétron livre por átomo, temos n=n_{\text{átomos}}á. Substituindo:
n=\frac{8{,}93\times10^{3}}{0{,}0635}\times6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Faço as contas por etapas:
\frac{\rho}{M}=\frac{8{,}93\times10^{3}}{0{,}0635}\approx1{,}40630\times10^{5}\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
Agora multiplicando por N_A:
n\approx1{,}40630\times10^{5}\times6{,}022\times10^{23}\approx8{,}47\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 5

Agora calculo v_d usando v_d=I/(n e A). Coloco todos os números:
I=1\\ \mathrm{A},\quad n=8{,}47\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}},\quad e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\quad A=2{,}088\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Calculo o denominador por etapas:
n\,e=(8{,}47\times10^{28})\cdot(1{,}602\times10^{-19})\approx1{,}358\times10^{10}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
Multiplicando por A:
n\,e\,A\approx1{,}358\times10^{10}\cdot2{,}088\times10^{-6}\approx2{,}834\times10^{4}.
Finalmente
v_d=\frac{1}{2{,}834\times10^{4}}\\ \mathrm{m/s}\approx3{,}53\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação e unidades alternativas (útil para intuir a ordem de grandeza): a velocidade de deriva é muito pequena — em outras unidades:
v_d\approx3{,}53\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}=0{,}0353\\ \mathrm{mm/s}=35{,}3\\ \mu\mathrm{m/s}.
É normal: apesar de a sinal elétrico se propagar quase à velocidade da luz, os elétrons individuais migram muito lentamente no fio.

Resposta

v_d\approx3{,}53\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados