(2,0 pontos) Derive:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é a composição da função arco-tangente com a função
. - Queremos encontrar
, a derivada em termos de .
Passo 2
Vamos lembrar duas coisas importantes que usaremos (vou explicar cada uma):
- A derivada da função
em relação a é
Explicação (rápida e intuitiva): se
então
. Diferenciando em
por derivação implícita obtemos
, logo
. Como
e
, segue
, provando a fórmula acima.
2) Regra da cadeia: se , então
2) Regra da cadeia: se
Explicação: a regra da cadeia diz que a taxa de variação da composição é a taxa de variação externa avaliada na função interna multiplicada pela taxa de variação da função interna. Aqui
é a função exterior (arco-tangente) e
é a função interior.
Passo 3
Identificamos a composição no problema: seja
então
. Pelo item 1 sabemos que
Pelo item 2 (regra da cadeia) teremos
Passo 4
Calculamos
. Usamos a regra do poder (power rule): se
com
constante então
. Aqui
, portanto
Passo 5
Agora substituímos na regra da cadeia:
Como
e
, obtemos
Passo 6
Simplificando
, então a expressão final é
Comentário rápido: essa fórmula vale para todo
. Para
dá
, por exemplo.