(2,0 pontos) Derive:
(b) g(x)=\tan ^{-1}\left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\tan^{-1}\!\bigl(x^{2}\bigr).
Informações dadas:
  • A função é a composição da função arco-tangente com a função x\mapsto x^{2}.
  • Queremos encontrar g'(x), a derivada em termos de x.

Passo 2

Vamos lembrar duas coisas importantes que usaremos (vou explicar cada uma):
  1. A derivada da função \tan^{-1}(t) em relação a t é
\frac{d}{dt}\tan^{-1}(t)=\frac{1}{1+t^{2}}.
Explicação (rápida e intuitiva): se \displaystyle y=\tan^{-1}(t) então \tan(y)=t. Diferenciando em t por derivação implícita obtemos \operatorname{sec}^{2}(y)\,\dfrac{dy}{dt}=1, logo \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{\operatorname{sec}^{2}(y)}=\cos^{2}(y). Como \tan^{2}(y)+1=\operatorname{sec}^{2}(y) e \tan(y)=t, segue \cos^{2}(y)=1/(1+t^{2}), provando a fórmula acima.
2) Regra da cadeia: se F(x)=f(u(x)), então
F'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Explicação: a regra da cadeia diz que a taxa de variação da composição é a taxa de variação externa avaliada na função interna multiplicada pela taxa de variação da função interna. Aqui f é a função exterior (arco-tangente) e u é a função interior.

Passo 3

Identificamos a composição no problema: seja
u(x)=x^{2} \qquad\text{e}\qquad f(t)=\tan^{-1}(t),
então g(x)=f\bigl(u(x)\bigr). Pelo item 1 sabemos que
f'(t)=\frac{1}{1+t^{2}}.
Pelo item 2 (regra da cadeia) teremos
g'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 4

Calculamos u'(x). Usamos a regra do poder (power rule): se u(x)=x^{n} com n constante então u'(x)=n x^{n-1}. Aqui n=2, portanto
u'(x)=2x.

Passo 5

Agora substituímos na regra da cadeia:
g'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=\frac{1}{1+\bigl(u(x)\bigr)^{2}}\cdot u'(x).
Como u(x)=x^{2} e u'(x)=2x, obtemos
g'(x)=\frac{1}{1+\bigl(x^{2}\bigr)^{2}}\cdot 2x.

Passo 6

Simplificando \bigl(x^{2}\bigr)^{2}=x^{4}, então a expressão final é
g'(x)=\frac{2x}{1+x^{4}}.
Comentário rápido: essa fórmula vale para todo x\in\mathbb{R}. Para x=0 g'(0)=0, por exemplo.

Resposta

g'(x)=\frac{2x}{1+x^{4}}

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