(2,0 pontos) Derive:
(c) f(x)=\sin ^{-1}(5 x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sin^{-1}(5x) e pede a derivada f'(x). Informações importantes que temos já de cara:
  • A função é a composta de uma função externa \sin^{-1}(\cdot) (arcseno) com a função interna 5x.
  • A função \sin^{-1}(5x) só está definida quando |5x|\le 1, ou seja quando |x|\le \tfrac{1}{5}. A derivada que vamos obter vale nos pontos do intervalo interior onde |5x|<1 (ou seja |x|<\tfrac{1}{5}), porque no ponto em que 1-25x^2=0 a raiz do denominador zera.

Passo 2

Explicando a regra que vamos usar: a Regra da Cadeia.
Se tivermos uma função composta F(G(x)), então a derivada é
\frac{d}{dx}F(G(x))=F'(G(x))\cdot G'(x).
Aqui cada símbolo significa:
  • F é a função externa (no nosso caso F(u)=\sin^{-1}u),
  • G é a função interna (aqui G(x)=5x),
  • F'(G(x)) é a derivada da externa avaliada na interna,
  • G'(x) é a derivada da interna.
Exemplo rápido para fixar: se h(x)=e^{2x} então h'(x)=e^{2x}\cdot 2 (a derivada da exponencial vezes a derivada de 2x).

Passo 3

Precisamos da derivada da função externa F(u)=\sin^{-1}u. Vou deduzir essa fórmula de forma didática usando diferenciação implícita.
Comece definindo y=\sin^{-1}u. Isso é equivalente a
\sin y = u.
Derivando ambos os lados em relação a u (tratando y como função de u):
\cos y\cdot\frac{dy}{du}=1.
Logo
\frac{dy}{du}=\frac{1}{\cos y}.
Agora escrevemos \cos y em termos de u. Como \sin y=u, temos
\cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-u^2}.
Aqui usamos a raiz positiva porque a imagem de \sin^{-1} é o intervalo \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], onde \cos y\ge 0. Assim obtemos a fórmula conhecida:
\frac{d}{du}\sin^{-1}u=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.

Passo 4

Agora aplicamos a Regra da Cadeia com u=G(x)=5x. Primeiro calcule a derivada da interna:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(5x)=5.
Usando a fórmula da derivada do arcseno:
\frac{d}{dx}\sin^{-1}(u(x))=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-(u(x))^2}}.
Substituindo u(x)=5x e u'(x)=5, vem
f'(x)=\frac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}.
Podemos simplificar o quadrado:
f'(x)=\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}.
Lembre que essa expressão está bem definida para |5x|<1, isto é para |x|<\tfrac{1}{5}. Nos extremos |x|=\tfrac{1}{5} o denominador zera e a derivada não existe (tende ao infinito).

Passo 5

Dica prática para a prova (rapidamente decorável): quando vir \sin^{-1}(u(x)) aplique direto
\frac{d}{dx}\sin^{-1}(u(x))=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^2}}.
Exemplo extra curto: se g(x)=\sin^{-1}(3x^2) então g'(x)=\dfrac{6x}{\sqrt{1-9x^4}}. Fazendo assim você evita perder tempo em passos longos na hora da prova.

Resposta

f'(x)=\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}

Exercícios relacionados