(2,0 pontos) Derive:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
. Informações importantes que temos já de cara:
- A função é a composta de uma função externa
(arcseno) com a função interna . - A função
só está definida quando , ou seja quando . A derivada que vamos obter vale nos pontos do intervalo interior onde (ou seja ), porque no ponto em que a raiz do denominador zera.
Passo 2
Explicando a regra que vamos usar: a Regra da Cadeia.
Se tivermos uma função composta , então a derivada é
Se tivermos uma função composta
Aqui cada símbolo significa:
-
é a função externa (no nosso caso ), -
é a função interna (aqui ), -
é a derivada da externa avaliada na interna, -
é a derivada da interna.
Exemplo rápido para fixar: se
então
(a derivada da exponencial vezes a derivada de
).
Passo 3
Precisamos da derivada da função externa
. Vou deduzir essa fórmula de forma didática usando diferenciação implícita.
Comece definindo
. Isso é equivalente a
Derivando ambos os lados em relação a
(tratando
como função de
):
Logo
Agora escrevemos
em termos de
. Como
, temos
Aqui usamos a raiz positiva porque a imagem de
é o intervalo
, onde
. Assim obtemos a fórmula conhecida:
Passo 4
Agora aplicamos a Regra da Cadeia com
. Primeiro calcule a derivada da interna:
Usando a fórmula da derivada do arcseno:
Substituindo
e
, vem
Podemos simplificar o quadrado:
Lembre que essa expressão está bem definida para
, isto é para
. Nos extremos
o denominador zera e a derivada não existe (tende ao infinito).
Passo 5
Dica prática para a prova (rapidamente decorável): quando vir
aplique direto
Exemplo extra curto: se
então
. Fazendo assim você evita perder tempo em passos longos na hora da prova.