( 2,0 pontos) Derive:
g(x)=\left(x^{6}-x\right) \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\left(x^{6}-x\right)\sqrt{x}
e pede para derivá‑la (ou seja, encontrar g'(x)). Informações relevantes que temos:
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{x}, então a função está naturalmente definida para x\ge0 (e a derivada que obteremos será mais claramente válida para x>0).
  • A função é produto de duas partes: uma parte polinomial x^{6}-x e uma parte radical \sqrt{x}.
    A partir daqui vamos calcular passo a passo a derivada, explicando cada regra usada.

Passo 2

Primeiro, vou reescrever a raiz como potência, porque isso facilita o cálculo da derivada:
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Assim podemos escrever
g(x)=\left(x^{6}-x\right)x^{1/2}.
Agora identifico as duas funções cujo produto forma g:
u(x)=x^{6}-x\quad\text{e}\quad v(x)=x^{1/2}.
Iremos usar a regra do produto, que exige as derivadas de u e v.

Passo 3

Vou explicar e aplicar a regra das potências (power rule). A regra diz que, para qualquer real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui cada símbolo significa: x é a variável, n é o expoente (qualquer número real), e a derivada de x^{n} é n vezes x elevado a n-1. Exemplo simples: \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
Aplicando ao nosso u(x)=x^{6}-x:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{6}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=6x^{5}-1.

Passo 4

Agora aplico a regra das potências ao v(x)=x^{1/2}. Usando \frac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1} com n=\tfrac{1}{2}, obtemos:
v'(x)=\frac{1}{2}x^{1/2-1}=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Ou seja, v'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}, que também pode ser escrito como \dfrac{1}{2\sqrt{x}} quando necessário.

Passo 5

Explico a regra do produto (product rule): se g(x)=u(x)\,v(x), então
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Em palavras: derivada do produto = derivada da primeira vezes a segunda + primeira vezes derivada da segunda. Exemplo rápido: se u(x)=x e v(x)=x^{2}, então g(x)=x^{3} e pela regra do produto g'(x)=1\cdot x^{2}+x\cdot 2x=3x^{2}, que bate com a regra das potências.

Passo 6

Agora aplico a regra do produto com os u',v e u,v' que já calculei:
g'(x)=(6x^{5}-1)\,x^{1/2}+(x^{6}-x)\,\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Este é já um resultado correto, mas podemos simplificar para uma forma mais compacta e elegante.

Passo 7

Simplifico a expressão passo a passo. Começo por fatorar x^{-1/2} (isso ajuda a somar termos que têm potências diferentes):
(6x^{5}-1)\,x^{1/2}=(6x^{5}-1)\,x^{1/2}\cdot 1=(6x^{5}-1)\,x^{1/2}\cdot\frac{x^{-1/2}x^{1/2}}{x^{-1/2}x^{1/2}}
mais simples é notar que x^{1/2}=x^{-1/2}\cdot x. Usando isso,
(6x^{5}-1)\,x^{1/2}=x^{-1/2}\bigl((6x^{5}-1)x\bigr).
O segundo termo já tem x^{-1/2}, então
(x^{6}-x)\,\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{-1/2}\cdot\frac{1}{2}(x^{6}-x).
Somando os dois termos com fator comum x^{-1/2}:
g'(x)=x^{-1/2}\left((6x^{5}-1)x+\frac{1}{2}(x^{6}-x)\right).
Agora distribuo e somo os coeficientes:
(6x^{5}-1)x=6x^{6}-x,
\frac{1}{2}(x^{6}-x)=\frac{1}{2}x^{6}-\frac{1}{2}x.
Somando:
6x^{6}-x+\frac{1}{2}x^{6}-\frac{1}{2}x=\left(6+\frac{1}{2}\right)x^{6}-\left(1+\frac{1}{2}\right)x=\frac{13}{2}x^{6}-\frac{3}{2}x.
Logo
g'(x)=x^{-1/2}\left(\frac{13}{2}x^{6}-\frac{3}{2}x\right).
Posso fatorar \tfrac{1}{2}x dentro do parêntese:
\frac{13}{2}x^{6}-\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}x\bigl(13x^{5}-3\bigr).
Substituindo de volta:
g'(x)=x^{-1/2}\cdot\frac{1}{2}x\bigl(13x^{5}-3\bigr)=\frac{1}{2}x^{1-1/2}\bigl(13x^{5}-3\bigr).
E 1-1/2=1/2, então finalmente
g'(x)=\frac{1}{2}x^{1/2}\bigl(13x^{5}-3\bigr).
Se preferir em termos de raiz:
g'(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}\,\bigl(13x^{5}-3\bigr).

Resposta

\displaystyle g'(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}\,\bigl(13x^{5}-3\bigr)

Exercícios relacionados