( 2,0 pontos) Derive:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá‑la (ou seja, encontrar
). Informações relevantes que temos:
- A expressão envolve uma raiz quadrada
, então a função está naturalmente definida para (e a derivada que obteremos será mais claramente válida para ). - A função é produto de duas partes: uma parte polinomial
e uma parte radical .
A partir daqui vamos calcular passo a passo a derivada, explicando cada regra usada.
Passo 2
Primeiro, vou reescrever a raiz como potência, porque isso facilita o cálculo da derivada:
Assim podemos escrever
Agora identifico as duas funções cujo produto forma
:
Iremos usar a regra do produto, que exige as derivadas de
e
.
Passo 3
Vou explicar e aplicar a regra das potências (power rule). A regra diz que, para qualquer real
,
Aqui cada símbolo significa:
é a variável,
é o expoente (qualquer número real), e a derivada de
é
vezes
elevado a
. Exemplo simples:
.
Aplicando ao nosso
:
Passo 4
Agora aplico a regra das potências ao
. Usando
com
, obtemos:
Ou seja,
, que também pode ser escrito como
quando necessário.
Passo 5
Explico a regra do produto (product rule): se
, então
Em palavras: derivada do produto = derivada da primeira vezes a segunda + primeira vezes derivada da segunda. Exemplo rápido: se
e
, então
e pela regra do produto
, que bate com a regra das potências.
Passo 6
Agora aplico a regra do produto com os
e
que já calculei:
Este é já um resultado correto, mas podemos simplificar para uma forma mais compacta e elegante.
Passo 7
Simplifico a expressão passo a passo. Começo por fatorar
(isso ajuda a somar termos que têm potências diferentes):
mais simples é notar que
. Usando isso,
O segundo termo já tem
, então
Somando os dois termos com fator comum
:
Agora distribuo e somo os coeficientes:
Somando:
Logo
Posso fatorar
dentro do parêntese:
Substituindo de volta:
E
, então finalmente
Se preferir em termos de raiz: