(2,o pontos) Desenhe o conjunto A dado e calcule sua área. A é o conjunto do plano limitados pela reta y=0 e pelo gráfico de y=3-2 x-x^2 com -2 <= x <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o conjunto , que é a região do plano limitada pela reta (que é o eixo ) e pelo gráfico da função no intervalo de entre e . Depois, vamos calcular a área dessa região.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais definidas para encontrar áreas entre curvas.
O que vamos precisar: Saber como integrar funções, encontrar os pontos de interseção das curvas e aplicar a fórmula da área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o gráfico da função no intervalo de a .
Passo para desenhar:
  1. Escolher alguns valores de dentro do intervalo e calcular .
  2. Plotar esses pontos no plano cartesiano.
  3. Desenhar a reta , que é simplesmente o eixo .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, onde 3 - 2x - x^2 = 0 intersecta x^2 + 2x - 3 = 0 .
Resolvendo a equação:
x = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = -2 pm raiz4 + 122 = -2 pm raiz162 = -2 pm 42
Rearranjando:
x = 1 e x = -3
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Como nosso intervalo é de a , apenas está dentro desse intervalo.

Passo 4

Agora, sabemos que a área que queremos calcular está dividida em duas partes:
  1. De a , onde a função está acima de .
  2. De a , onde a função está abaixo de .
Vamos calcular a área de cada parte separadamente usando integrais.

Passo 5

Calculando a primeira parte (de A1 = integral-2^1 (3 - 2x - x^2) , dx a integral (3 - 2x - x^2) , dx = 3x - x^2 - 13x^3 + C ):
A1 = [3x - x^2 - 13x^3]-2^1 = (3(1) - (1)^2 - 13(1)^3) - (3(-2) - (-2)^2 - 13(-2)^3)
Integrando:
A1 = (3 - 1 - 13) - (-6 - 4 + 83) = (53) - (-223) = 273 = 9
Aplicando os limites:
Calculando:

Passo 6

Calculando a segunda parte (de A2 = integral1^3 |3 - 2x - x^2| , dx a A2 = integral1^3 -(3 - 2x - x^2) , dx = integral1^3 ( -3 + 2x + x^2) , dx ):
integral (-3 + 2x + x^2) , dx = -3x + x^2 + 13x^3 + C
Como A2 = [-3x + x^2 + 13x^3]1^3 = (-9 + 9 + 9) - (-3 + 1 + 13) = 9 - (-53) = 323 é negativa nesse intervalo, o valor absoluto transforma em:
Integrando:
Aplicando os limites:

Resposta

A área do conjunto A = A1 + A2 = 9 + 323 = 593 unidades de área é:
á

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