(2,o pontos) Desenhe o conjunto A dado e calcule sua área. A é o conjunto do plano limitados pela reta
e pelo gráfico de
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o conjunto
, que é a região do plano limitada pela reta
(que é o eixo
) e pelo gráfico da função
no intervalo de
entre
e
. Depois, vamos calcular a área dessa região.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais definidas para encontrar áreas entre curvas.
O que vamos precisar: Saber como integrar funções, encontrar os pontos de interseção das curvas e aplicar a fórmula da área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o gráfico da função
no intervalo de
a
.
Passo para desenhar:
- Escolher alguns valores de
dentro do intervalo e calcular . - Plotar esses pontos no plano cartesiano.
- Desenhar a reta
, que é simplesmente o eixo .
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, onde
intersecta
.
Resolvendo a equação:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Como nosso intervalo é de
a
, apenas
está dentro desse intervalo.
Passo 4
Agora, sabemos que a área que queremos calcular está dividida em duas partes:
- De
a , onde a função está acima de . - De
a , onde a função está abaixo de .
Vamos calcular a área de cada parte separadamente usando integrais.
Passo 5
Calculando a primeira parte (de
a
):
Integrando:
Aplicando os limites:
Calculando:
Passo 6
Calculando a segunda parte (de
a
):
Como
é negativa nesse intervalo, o valor absoluto transforma em:
Integrando:
Aplicando os limites:
Resposta
A área do conjunto
é: