Sabendo que integral 11^2+x^2 d x=arctg x+C, determine as seguintes primitivas:
integral 1(x+1)^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função f(x)=1(x+1)^2+1. O conteúdo envolvido é integração de funções do tipo 1u^2+1, cuja primitiva conhecida é arctan u. Para resolver, vamos usar substituição linear.

Passo 2

Fazendo a substituição u = x+1, obtemos du = dx. Como a integral é indefinida, não precisamos ajustar limites. Assim, a integral original transforma-se em
integral 1(x+1)^2+1,dx = integral 1u^2+1,du

Passo 3

Agora aplicamos a primitiva conhecida:
integral 1u^2+1,du = arctan u + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável x usando u=x+1. Logo, a primitiva buscada é arctan(x+1)+C.

Resposta

arctan(x+1) + C

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