(2,0 pontos) A vazão de água que sai de uma torneira é de \mathbf{1 0 1} / \mathrm{s}. Sabe-se que a área da torneira é de \mathbf{1 0} \mathrm{cm}^{2}. Calcule a velocidade da água a uma distância de \mathbf{1 0 ~ c m} da boca da torneira. Considere a aceleração gravitacional \mathbf{1 0} \mathbf{m} / \mathbf{s}^{\mathbf{2}}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (sem ambiguidade):
  • Vazão volumétrica (volume de água por tempo): Q = 101\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.
  • Área da seção da boca da torneira: A = 10\\ \mathrm{cm}^2.
  • Distância abaixo da boca onde se quer a velocidade: h = 10\\ \mathrm{cm}.
  • Aceleração gravitacional: g = 10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
O que se pede: calcular a velocidade da água a uma distância de h abaixo da boca da torneira (ou seja, a velocidade do jato após cair h).

Passo 2

Primeiro, converto todas as grandezas para unidades do SI (m, m^2, m^3, s) para evitar confusão em contas com g:
  • 1\\ \mathrm{cm} = 10^{-2}\\ \mathrm{m}.
  • 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
  • 1\\ \mathrm{cm}^3 = 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3.
Converto cada dado:
Q = 101\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s} = 101\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} = 1{,}01\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
A = 10\\ \mathrm{cm}^2 = 10\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
h = 10\\ \mathrm{cm} = 10\times 10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Agora uso a relação de continuidade para obter a velocidade da água na boca da torneira (velocidade inicial do jato): a vazão volumétrica é o produto da área pela velocidade média na seção:
Q = A v_0.
Aqui Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}), A é a área da seção ( \mathrm{m}^2) e v_0 é a velocidade na boca ( \mathrm{m}/\mathrm{s}). Isolo v_0:
v_0 = \frac{Q}{A}.
Substituindo os valores em SI:
v_0 = \frac{1{,}01\times 10^{-4}}{1{,}0\times 10^{-3}}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} = 0{,}101\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Interpretação curta: a água sai da boca com cerca de 0{,}101\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 4

Ao cair uma distância h sob a ação da gravidade, a água converte parte da energia potencial em energia cinética: a variação da velocidade pode ser obtida por conservação de energia (ou forma simples do princípio de Bernoulli para partículas do fluido, desprezando perdas por viscosidade). A fórmula relacionando a velocidade após cair h é
v^2 = v_0^2 + 2 g h,
onde v é a velocidade a uma distância h abaixo da boca, v_0 é a velocidade inicial na boca, g é a aceleração da gravidade e h é a altura caída (em metros). Essa fórmula vem de igualar a perda de energia potencial g h à variação da energia cinética \tfrac{1}{2}(v^2-v_0^2) (multiplicando por 2 obtém-se a expressão acima).

Passo 5

Calculo 2 g h e então v:
2gh = 2\cdot 10\cdot 0{,}10 = 2{,}0\quad(\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2).
v_0^2 = (0{,}101)^2 = 0{,}010201\quad(\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2).
v^2 = v_0^2 + 2 g h = 0{,}010201 + 2{,}0 = 2{,}010201.
v = \sqrt{2{,}010201}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1{,}418\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Arredondando com precisão razoável, v \approx 1{,}42\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Resposta

v \approx 1{,}42\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados