(2,0 pontos) Calcule a velocidade do avião em relação ao ar em km/h em um Tubo de Pitot sabendo que a densidade do líquido manométrico é 13600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, que a densidade do ar é igual a 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, que o desnível entre os dois ramos do manômetro é de \mathbf{2 0} \mathbf{c m} e aceleração gravitacional é \mathbf{9 , 8 m} / \mathbf{s}^{\mathbf{2}}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a velocidade do avião em relação ao ar (em km/h) usando um Tubo de Pitot. Dados fornecidos:
  • densidade do líquido manométrico: \rho_{\text{man}} = 13600\\ \mathrm{kg/m^{3}} (peguei este dado do enunciado);
  • densidade do ar: \rho_{\text{ar}} = 1,2\\ \mathrm{kg/m^{3}} (peguei este dado do enunciado);
  • desnível entre os dois ramos do manômetro: h = 20\\ \mathrm{cm} = 0,20\\ \mathrm{m} (peguei este dado do enunciado e converti para metros);
  • aceleração da gravidade: g = 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} (peguei este dado do enunciado).
O que é pedido: a velocidade v do avião relativa ao ar, expressa em \mathrm{km/h}.

Passo 2

Entendendo o que relaciona o desnível do manômetro com a velocidade: o Tubo de Pitot mede a diferença entre a pressão de estagnação (quando o ar é trazido à velocidade zero) e a pressão estática do ar. Pela equação de Bernoulli (na forma prática usada aqui), essa diferença de pressão é a chamada pressão dinâmica:
\Delta p = p_{\text{estagnação}} - p_{\text{estática}} = \tfrac{1}{2}\,\rho_{\text{ar}}\,v^{2}.çãá
Explicando a fórmula: \Delta p é a diferença de pressão (em pascals), \rho_{\text{ar}} é a densidade do ar, e v é a velocidade relativa do avião que queremos achar. A fórmula diz que a energia por volume associada à velocidade (metade de \rho v^{2}) é igual à diferença de pressão medida.
Agora, como transformar o desnível h do manômetro em uma diferença de pressão \Delta p? Num manômetro em U com líquido de densidade \rho_{\text{man}} e ar nos ramos, a diferença de pressão entre as duas conexões (estagnação e estática) gera uma desigualdade nas alturas dos fluidos. Fazendo o balanço hidrostático entre pontos ao mesmo nível dentro do manômetro chega-se à relação padrão:
\Delta p = p_{\text{estagnação}} - p_{\text{estática}} = \bigl(\rho_{\text{man}} - \rho_{\text{ar}}\bigr)\,g\,h.çãá
Explicando as variáveis nessa expressão: \rho_{\text{man}} é a densidade do líquido manométrico, \rho_{\text{ar}} é a densidade do ar (porque há colunas de ar em contato no mesmo circuito), g é a aceleração da gravidade e h é o desnível medido entre as superfícies dos dois ramos do manômetro. A ideia física é que a coluna mais pesada (líquido) e as colunas de ar se equilibram, gerando essa diferença de pressão proporcional a h.
Portanto, juntando as duas relações:
\tfrac{1}{2}\,\rho_{\text{ar}}\,v^{2} = \bigl(\rho_{\text{man}} - \rho_{\text{ar}}\bigr)\,g\,h.
Dessa equação isolamos v:
v = \sqrt{\dfrac{2\bigl(\rho_{\text{man}} - \rho_{\text{ar}}\bigr) g h}{\rho_{\text{ar}}}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • v: velocidade do avião relativa ao ar (m/s);
  • \rho_{\text{man}}: densidade do líquido do manômetro ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • \rho_{\text{ar}}: densidade do ar ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • g: aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}});
  • h: desnível entre os ramos do manômetro (m).

Passo 3

Agora substituímos os valores numéricos na fórmula para obter \Delta p primeiro (por clareza):
\Delta p = \bigl(\rho_{\text{man}} - \rho_{\text{ar}}\bigr)\,g\,h = \bigl(13600 - 1,2\bigr)\times 9,8 \times 0,20.
Calcule passo a passo:
13600 - 1,2 = 13598,8,
g\,h = 9,8 \times 0,20 = 1,96,
\Delta p = 13598,8 \times 1,96 = 26653,648\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Agora usamos \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} v^{2} = \Delta p para achar v. Isolando v:
v = \sqrt{\dfrac{2\,\Delta p}{\rho_{\text{ar}}}} = \sqrt{\dfrac{2\times 26653,648}{1,2}}.
Calcule:
2\times 26653,648 = 53307,296,
\dfrac{53307,296}{1,2} = 44422,746666\ldots,
v \approx \sqrt{44422,746666\ldots} \approx 210,7\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Converter a velocidade de \mathrm{m/s} para \mathrm{km/h}: multiplicar por 3,6.
v_{\text{km/h}} = 210,7 \times 3,6 \approx 758,5\\ \mathrm{km/h}.
Arredondando de forma razoável (duas ou três algarismos significativos), fica aproximadamente 759\\ \mathrm{km/h}.
Observação amigável: usei a fórmula de Bernoulli na forma simples (pressão dinâmica \tfrac{1}{2}\rho v^{2}). Isso é correto para velocidades moderadas; para velocidades muito altas seria preciso considerar compressibilidade do ar, mas aqui com o resultado obtido a aproximação é aceitável para exercícios típicos de Pitot.

Resposta

759\\ \mathrm{km/h}

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