(3 pontos) Determine em cada caso a solução geral da equação diferencial e a solução partícular que satisfaz y(1)=1.
d yd x=x y^2+xy

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dydx = x,y^2 + xy
e depois determinar a solução particular que satisfaz y(1)=1.
O método é separar variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevendo o lado direito, temos
dydx = x,y^2+1y
Então podemos separar as variáveis como
yy^2+1,dy = x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral yy^2+1,dy ;=;integral x,dx
No lado esquerdo use a substituição u=y^2+1, du=2y,dy, obtendo
12lnl(y^2+1r) = x^22 + C

Passo 4

Multiplicando por 2 e exponenciando, definindo C'=2C e K=e^C', vem
lnl(y^2+1r) = x^2 + C' Longrightarrow y^2+1 = K,e^x^2
Logo a solução geral é
y^2 = K,e^x^2 - 1 Longrightarrow y(x) = pmraizK,e^x^2 - 1

Passo 5

Para a condição inicial y(1)=1, substituímos x=1, y=1 em y^2+1 = K e^x^2:
1^2 + 1 = K,e^1 Longrightarrow 2 = K,e Longrightarrow K = 2e
Como queremos y(1)=1>0, escolhemos o sinal positivo
y(x) = raiz2e,e^x^2 - 1 = raiz2,e^,x^2-1 ;-;1

Resposta

A solução geral é
y(x) = pmraizK,e^x^2 - 1,
e a solução particular com y(1)=1 é
y(x) = raiz2,e^,x^2-1 - 1

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