2- O método de Newton é considerado um algoritmo “rápido”. Quais as condições para que esse algoritmo convirja rápido para solução de uma equação? E quando ele pode ser lento?

Passo 1

O enunciado pergunta por que o método de Newton, apesar de ser “rápido”, só converge super-rapidamente em certas situações e pode se comportar de forma lenta noutras. O conteúdo é de métodos numéricos, mais especificamente a convergência local do método de Newton para resolver f(x)=0.

Passo 2

Para que o método de Newton apresente convergência quadrática (ou seja, o erro dobra de número de dígitos a cada iteração), é preciso que na vizinhança da raiz alpha se cumpram:
1. f seja duas vezes continuamente diferenciável em torno de alpha, ou seja, fin C^2 num intervalo que contenha alpha.
2. A derivada em alpha seja não nula:
f'(alpha)neq 0
3. A aproximação inicial x0 esteja suficientemente próxima de alpha.
4. A segunda derivada f'' seja limitada nessa vizinhança, garantindo um bom controle sobre o termo de resto da expansão de Taylor.
Sob essas hipóteses, podemos mostrar que, para o erro en = xn - alpha, existe constante K>0 tal que
|en+1| <= K,|en|^2,
resultando em convergência quadrática.

Passo 3

O método pode ficar lento (convergência linear ou até divergir) quando alguma dessas condições falha:
1. Raiz múltipla: se f'(alpha)=0, a convergência cai para só linear, pois o termo quadrático some da aproximação de Newton.
2. Aproximação inicial distante: se x0 não está perto de alpha, pode haver iterações que se afastem ou que demorem a “entrar” na região de quadrática.
3. Derivada pequena: quando f'(xn) se aproxima de zero em pontos intermediários, o passo
xn+1=xn - f(xn)f'(xn)
fica muito grande ou instável, retardando a convergência.
4. Função com alto grau de curvatura (segunda derivada muito grande) ou não suave ( fnotin C^2), prejudica o comportamento quadrático.

Resposta

Condições para convergência rápida (quadrática):
1. fin C^2 perto da raiz alpha.
2. f'(alpha)neq 0.
3. x0 suficientemente próximo de alpha.
4. f'' limitada na região.
Quando é lento:
1. Raiz de multiplicidade maior que 1 ( f'(alpha)=0).
2. Aproximações iniciais distantes.
3. Derivada pequena ou nula em pontos intermediários.
4. Função não suave ou com curvatura muito alta.

Exercícios relacionados