2- O método de Newton é considerado um algoritmo “rápido”. Quais as condições para que esse algoritmo convirja rápido para solução de uma equação? E quando ele pode ser lento?
Passo 1
O enunciado pergunta por que o método de Newton, apesar de ser “rápido”, só converge super-rapidamente em certas situações e pode se comportar de forma lenta noutras. O conteúdo é de métodos numéricos, mais especificamente a convergência local do método de Newton para resolver
.
Passo 2
Para que o método de Newton apresente convergência quadrática (ou seja, o erro dobra de número de dígitos a cada iteração), é preciso que na vizinhança da raiz
se cumpram:
1. seja duas vezes continuamente diferenciável em torno de
, ou seja,
num intervalo que contenha
.
2. A derivada em seja não nula:
1.
2. A derivada em
3. A aproximação inicial
esteja suficientemente próxima de
.
4. A segunda derivada seja limitada nessa vizinhança, garantindo um bom controle sobre o termo de resto da expansão de Taylor.
Sob essas hipóteses, podemos mostrar que, para o erro , existe constante
tal que
4. A segunda derivada
Sob essas hipóteses, podemos mostrar que, para o erro
resultando em convergência quadrática.
Passo 3
O método pode ficar lento (convergência linear ou até divergir) quando alguma dessas condições falha:
1. Raiz múltipla: se , a convergência cai para só linear, pois o termo quadrático some da aproximação de Newton.
2. Aproximação inicial distante: se não está perto de
, pode haver iterações que se afastem ou que demorem a “entrar” na região de quadrática.
3. Derivada pequena: quando se aproxima de zero em pontos intermediários, o passo
1. Raiz múltipla: se
2. Aproximação inicial distante: se
3. Derivada pequena: quando
fica muito grande ou instável, retardando a convergência.
4. Função com alto grau de curvatura (segunda derivada muito grande) ou não suave ( ), prejudica o comportamento quadrático.
4. Função com alto grau de curvatura (segunda derivada muito grande) ou não suave (
Resposta
Condições para convergência rápida (quadrática):
1. perto da raiz
.
2. .
3. suficientemente próximo de
.
4. limitada na região.
1.
2.
3.
4.
Quando é lento:
1. Raiz de multiplicidade maior que 1 ( ).
2. Aproximações iniciais distantes.
3. Derivada pequena ou nula em pontos intermediários.
4. Função não suave ou com curvatura muito alta.
1. Raiz de multiplicidade maior que 1 (
2. Aproximações iniciais distantes.
3. Derivada pequena ou nula em pontos intermediários.
4. Função não suave ou com curvatura muito alta.