(5 pontos) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo Ox da curva f(x)=x \sqrt{ }\left(5-x^{2}\right), 0 \leq x \leq \sqrt{ } 5.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo Ox a curva f(x)=x\sqrt{5-x^{2}} no intervalo 0\le x\le\sqrt{5}.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=x\sqrt{5-x^{2}}.
  • Intervalo de rotação: x\in[0,\sqrt{5}].
  • Eixo de rotação: eixo Ox (eixo x).
  • Objetivo: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Explicação do método a usar (disco / fatia): quando uma curva y=f(x), não negativa no intervalo [a,b], gira em torno do eixo Ox, o sólido gerado pode ser pensado como a sobreposição de discos de raio f(x) e espessura dx. O volume de um disco fino é a área da seção transversal vezes a espessura.
A fórmula do método dos discos é:
V=\pi\int_{a}^{b} \bigl(f(x)\bigr)^{2}\,dx.
Aqui:
  • V é o volume do sólido.
  • a e b são os limites do intervalo de x.
  • f(x) é a altura da curva (o raio do disco) para cada x.
  • O fator \pi vem da área do círculo \pi r^{2}.
Vamos aplicar essa fórmula com a=0, b=\sqrt{5} e f(x)=x\sqrt{5-x^{2}}.

Passo 3

Primeiro simplificamos \bigl(f(x)\bigr)^{2}. Temos
\bigl(f(x)\bigr)^{2}=\bigl(x\sqrt{5-x^{2}}\bigr)^{2}=x^{2}\,(5-x^{2}).
Desenvolvendo:
x^{2}\,(5-x^{2})=5x^{2}-x^{4}.

Passo 4

Agora montamos a integral do volume usando a fórmula dos discos:
V=\pi\int_{0}^{\sqrt{5}} \bigl(5x^{2}-x^{4}\bigr)\,dx.
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 5

Calculemos a antiderivada termo a termo. Lembrando que \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.
  • Para \int 5x^{2}\,dx:
\int 5x^{2}\,dx = 5\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{5}{3}x^{3}.
  • Para \int x^{4}\,dx:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
Portanto a antiderivada de 5x^{2}-x^{4} é
F(x)=\frac{5}{3}x^{3}-\frac{1}{5}x^{5}.

Passo 6

Avaliamos F(x) nos limites de 0 a \sqrt{5}. Primeiro calculemos as potências de x=\sqrt{5}:
(\sqrt{5})^{3}=5\sqrt{5},\qquad (\sqrt{5})^{5}=25\sqrt{5}.
Substituindo em F:
F(\sqrt{5})=\frac{5}{3}\cdot 5\sqrt{5}-\frac{1}{5}\cdot 25\sqrt{5} =\frac{25}{3}\sqrt{5}-5\sqrt{5}.
Colocando em denominador comum:
\frac{25}{3}\sqrt{5}-5\sqrt{5}=\left(\frac{25}{3}-\frac{15}{3}\right)\sqrt{5}=\frac{10}{3}\sqrt{5}.
E F(0)=0. Logo a integral definida vale \dfrac{10}{3}\sqrt{5}.

Passo 7

Multiplicando pelo fator \pi da fórmula dos discos, o volume é
V=\pi\cdot \frac{10}{3}\sqrt{5}=\frac{10\pi\sqrt{5}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{10\pi\sqrt{5}}{3}

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