(5 pontos) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo Ox da curva
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo Ox a curva
no intervalo
.
Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo de rotação:
. - Eixo de rotação: eixo
(eixo ). - Objetivo: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Explicação do método a usar (disco / fatia): quando uma curva
, não negativa no intervalo
, gira em torno do eixo
, o sólido gerado pode ser pensado como a sobreposição de discos de raio
e espessura
. O volume de um disco fino é a área da seção transversal vezes a espessura.
A fórmula do método dos discos é:
Aqui:
-
é o volume do sólido. -
e são os limites do intervalo de . -
é a altura da curva (o raio do disco) para cada . - O fator
vem da área do círculo .
Vamos aplicar essa fórmula com
,
e
.
Passo 3
Primeiro simplificamos
. Temos
Desenvolvendo:
Passo 4
Agora montamos a integral do volume usando a fórmula dos discos:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 5
Calculemos a antiderivada termo a termo. Lembrando que
para
.
- Para
:
- Para
:
Portanto a antiderivada de
é
Passo 6
Avaliamos
nos limites de
a
. Primeiro calculemos as potências de
:
Substituindo em
:
Colocando em denominador comum:
E
. Logo a integral definida vale
.
Passo 7
Multiplicando pelo fator
da fórmula dos discos, o volume é