(1,5 pontos) Determine a dimensão e uma base do subespaço S do espaço vetorial onde
S=\left\{\left(\begin{array}{lll} a & b & c \\\ d & e & f \\\ x & y & z \end{array}\right): a+d=b+c \text { e } x+y+z=0\right\}
Passo 1
O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço S\subset M_{3\times3} definido por
S=\Bigl\{A=\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ x & y & z \end{pmatrix}\;\Bigm|\;a+d=b+c,\;x+y+z=0\Bigr\}.
Aqui o conteúdo é subespaços de espaços vetoriais: identificamos as restrições lineares e contamos variáveis livres para achar a dimensão, depois expressamos um elemento genérico em função dessas variáveis e extraímos uma base.
Passo 2
Escrevemos as duas condições de forma a isolar variáveis:
a+d=b+c implica
a = b + c - d.
x+y+z=0 implica
z = -\,x - y.
Assim as entradas livres são b,c,d,e,f,x,y, total de 7 graus de liberdade.
Passo 3
Logo \emph{dim}\,S=7 pois partíamos de 9 variáveis em M_{3\times3} e impusemos 2 equações lineares independentes.
Passo 4
Escrevemos um elemento genérico A\in S em função das variáveis livres:
A=\begin{pmatrix} b+c-d & b & c\\\ d & e & f\\\ x & y & -x - y \end{pmatrix}.