(1,5 pontos) Determine a dimensão e uma base do subespaço S do espaço vetorial onde
S=\left\{\left(\begin{array}{lll} a & b & c \\\ d & e & f \\\ x & y & z \end{array}\right): a+d=b+c \text { e } x+y+z=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço S\subset M_{3\times3} definido por
S=\Bigl\{A=\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ x & y & z \end{pmatrix}\;\Bigm|\;a+d=b+c,\;x+y+z=0\Bigr\}.
Aqui o conteúdo é subespaços de espaços vetoriais: identificamos as restrições lineares e contamos variáveis livres para achar a dimensão, depois expressamos um elemento genérico em função dessas variáveis e extraímos uma base.

Passo 2

Escrevemos as duas condições de forma a isolar variáveis:
  1. a+d=b+c implica
a = b + c - d.
  1. x+y+z=0 implica
z = -\,x - y.
Assim as entradas livres são b,c,d,e,f,x,y, total de 7 graus de liberdade.

Passo 3

Logo \emph{dim} \,S=7 pois partíamos de 9 variáveis em M_{3\times3} e impusemos 2 equações lineares independentes.

Passo 4

Escrevemos um elemento genérico A\in S em função das variáveis livres:
A=\begin{pmatrix} b+c-d & b & c\\\ d & e & f\\\ x & y & -x - y \end{pmatrix}.
Agora agrupamos em combinação linear:
A = b\,B + c\,C + d\,D + e\,E + f\,F + x\,X + y\,Y,
onde cada letra maiúscula é uma matriz-base obtida fazendo uma variável livre igual a 1 e as outras 0.

Passo 5

As matrizes correspondentes são
B=\begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix}, \; C=\begin{pmatrix}1&0&1\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix}, \; D=\begin{pmatrix}-1&0&0\\\ 1&0&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix},
E=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix}, \; F=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&0&1\\\ 0&0&0\end{pmatrix}, \; X=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 1&0&-1\end{pmatrix}, \; Y=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&1&-1\end{pmatrix}.
É fácil checar que cada uma satisfaz a+d=b+c e x+y+z=0 e que são linearmente independentes.

Resposta

dimensão de S é 7.
Uma base de S é
\left\{ B,C,D,E,F,X,Y \right\},
com
B=\begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix},\; C=\begin{pmatrix}1&0&1\\\ 0&0&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix},\; D=\begin{pmatrix}-1&0&0\\\ 1&0&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix},
E=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix},\; F=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&0&1\\\ 0&0&0\end{pmatrix},\; X=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 1&0&-1\end{pmatrix},\; Y=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&1&-1\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados