( 1,5 pontos) Mostre que as funções e^{x}, \cos x e x^{2} são linearmente independentes.

Passo 1

Resumindo o enunciado: devemos mostrar que as funções e^x, \cos x e x^2 são linearmente independentes em \mathbb{R}. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: se existirem constantes \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha e^x + \beta \cos x + \gamma x^2 = 0
para todo x, então necessariamente \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 2

Suponha que existam constantes \alpha, \beta e \gamma satisfazendo
\alpha e^x + \beta \cos x + \gamma x^2 = 0
para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Avalie essa igualdade em x=0. Como e^0=1, \cos0=1 e 0^2=0, temos
\alpha + \beta = 0.

Passo 4

Derive ambos os lados em relação a x. A derivada dá
\alpha e^x - \beta \sin x + 2\gamma x = 0
para todo x.

Passo 5

Agora avalie a derivada em x=0. Sabendo que \sin0=0, obtemos
\alpha = 0.
Logo, de \alpha+\beta=0 segue \beta=0.

Passo 6

Substituindo \alpha=0 e \beta=0 na combinação original, sobra
\gamma x^2 = 0
para todo x. Isso só é possível se \gamma=0.

Resposta

Como as únicas constantes que satisfazem a combinação linear são \alpha=\beta=\gamma=0, concluímos que e^x, \cos x e x^2 são linearmente independentes.

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