( 1,5 pontos) Mostre que as funções
e
são linearmente independentes.
Passo 1
Resumindo o enunciado: devemos mostrar que as funções
,
e
são linearmente independentes em
. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: se existirem constantes
tais que
para todo
, então necessariamente
.
Passo 2
Suponha que existam constantes
,
e
satisfazendo
para todo
.
Passo 3
Avalie essa igualdade em
. Como
,
e
, temos
Passo 4
Derive ambos os lados em relação a
. A derivada dá
para todo
.
Passo 5
Agora avalie a derivada em
. Sabendo que
, obtemos
Logo, de
segue
.
Passo 6
Substituindo
e
na combinação original, sobra
para todo
. Isso só é possível se
.
Resposta
Como as únicas constantes que satisfazem a combinação linear são
, concluímos que
,
e
são linearmente independentes.