Determine se os vetores u, v e w abaixo são L. I. ou L. D. (Justifique a=
(b) u=(1,1,1), v=(1,2,1) e w=(4,7,4).

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em \mathbb{R}^3:
u=(1,1,1),\quad v=(1,2,1),\quad w=(4,7,4),
e pede para decidir se eles são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). O conteúdo é o de dependência linear: vamos verificar se existe combinação não trivial desses vetores que resulte no vetor zero.

Passo 2

Recordando a definição, vetores u,v,w são L.D. se existem escalares a,b,c, nem todos zero, tais que
a\,u + b\,v + c\,w = (0,0,0).
Um modo prático é ver se um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 3

Procuramos escalares \alpha\) e \(\beta\) tais que \[w = \alpha\,u + \beta\,v.
Em componentes isso dá o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta = 4,\\\ \alpha + 2\beta = 7,\\\ \alpha + \beta = 4. \end{cases}
As duas equações não triviais são
\alpha + \beta = 4, \qquad \alpha + 2\beta = 7.
Subtraindo a primeira da segunda obtemos \beta=3\] e, daí, \(\alpha=1. Logo
w = 1\cdot u + 3\cdot v.

Passo 4

Como conseguimos
w - u - 3v = (0,0,0),
obtivemos uma combinação linear não trivial (coeficientes a=-1, b=-3, c=1) que gera o vetor zero. Portanto, u,v,w são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores u,v,w são linearmente dependentes (L.D.).

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