(4 pontos) Determine o domínio da função
f(x)=raizx^2+3 x-4x+2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar o domínio de
f(x)=√ x^2+3x-4x+2.
Para isso precisamos garantir duas coisas: o denominador x+2 não pode ser zero e o radicando (a expressão dentro da raiz) deve ser maior ou igual a zero.

Passo 2

Fatoração do numerador: vamos fatorar x^2+3x-4 para facilitar a análise de sinais:
x^2+3x-4=(x+4)(x-1)

Passo 3

Condições a impor:
  1. Denominador não nulo: x+2neq0 xneq-2.
  2. Radicando ≥0:
(x+4)(x-1)x+2>=0

Passo 4

Determinação dos pontos críticos e análise de sinais:
Os pontos que anulam numerador ou denominador são
x=-4, x=-2, x=1
Dividimos a reta em intervalos e testamos um valor em cada um:
  • Para x<-4, por exemplo x=-5:
    (x+4)<0,,(x-1)<0,,(x+2)<0 ⇒ o quociente é negativo.
  • Em -4, por exemplo x=-3:
    (x+4)>0,,(x-1)<0,,(x+2)<0 ⇒ o quociente é positivo.
  • Em -2, por exemplo x=0:
    (x+4)>0,,(x-1)<0,,(x+2)>0 ⇒ o quociente é negativo.
  • Para x>1, por exemplo x=2:
    (x+4)>0,,(x-1)>0,,(x+2)>0 ⇒ o quociente é positivo.
    Também incluímos os zeros do numerador ( x=-4 e x=1), pois aí o radicando fica zero e a raiz é definida.

Passo 5

Construção do domínio:
Da análise vemos que o radicando é ≥0 em
-4,-2)cup[1,infty)
excluindo x=-2 por anular o denominador e incluindo x=-4 e x=1 (a raiz fica zero).

Resposta

([-4,-2)\cup[1,\infty)

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