Seja
Verifique se
é conservativo, e em quais regiões. Se for, escolha uma região para calcular um potencial
tal que
.
Passo 1
O problema pede pra gente verificar se o campo vetorial
é conservativo (isto é, se existe um potencial
tal que
) e em quais regiões isso vale. Depois, numa região bem escolhida, calcular explicitamente esse potencial. Vamos usar o teste do rotacional (
) e a condição de domínio simplesmente conectado.
Passo 2
Primeiro identifique o domínio onde
está definido: aparecem
,
e raízes de
, então precisamos de
,
e
. Esse domínio se divide em quatro regiões conectadas conforme o sinal de
e de
. Em cada uma delas podemos ter um potencial se o rotacional for zero.
Passo 3
Calculemos as componentes do rotacional
. Denotando
,
e
, obtemos:
-
e , -
e , -
e .
Passo 4
Como todas as componentes se igualam,
em cada região conectada de
, logo
é conservativo lá.
Passo 5
Escolhendo por exemplo a região
, que é simplesmente conectada, vamos achar o potencial
.
Passo 6
Integramos
em relação a
:
Passo 7
Derivando essa expressão em relação a
e igualando a
dá
Passo 8
Integrando em
:
Passo 9
Agora
. Fazendo
leva a
, ou seja
constante.
Passo 10
Chegamos assim no potencial (até constante):