Seja
G(x, y, z)=(2raizz-y^2 e^1 / xx^2) imath+(2 y e^1 / x-2 zy^3) jmath+(1y^2-xz^3 / 2) k
Verifique se G é conservativo, e em quais regiões. Se for, escolha uma região para calcular um potencial U tal que G=nabla U.

Passo 1

O problema pede pra gente verificar se o campo vetorial vec G(x,y,z) é conservativo (isto é, se existe um potencial U tal que vec G=nabla U) e em quais regiões isso vale. Depois, numa região bem escolhida, calcular explicitamente esse potencial. Vamos usar o teste do rotacional ( nablatimesvec G=0) e a condição de domínio simplesmente conectado.

Passo 2

Primeiro identifique o domínio onde vec G está definido: aparecem 1/x, 1/y e raízes de z, então precisamos de xneq0, yneq0 e z>0. Esse domínio se divide em quatro regiões conectadas conforme o sinal de x e de y. Em cada uma delas podemos ter um potencial se o rotacional for zero.

Passo 3

Calculemos as componentes do rotacional nablatimesvec G. Denotando P=2z^-1/2-y^2e^1/x/x^2, Q=2y e^1/x-2z/y^3 e R=1/y^2 - x z^-3/2, obtemos:
  • partial Ppartial y=-2y,e^1/x/x^2 e partial Qpartial x=-2y,e^1/x/x^2,
  • partial Ppartial z=-z^-3/2 e partial Rpartial x=-z^-3/2,
  • partial Qpartial z=-2y^-3 e partial Rpartial y=-2y^-3.

Passo 4

Como todas as componentes se igualam, nablatimesvec G=0 em cada região conectada de xneq0,yneq0,z>0, logo vec G é conservativo lá.

Passo 5

Escolhendo por exemplo a região x>0, y>0, z>0, que é simplesmente conectada, vamos achar o potencial U(x,y,z).

Passo 6

Integramos P em relação a x:
U(x,y,z)=integral l(2z^-1/2-y^2e^1/xx^2r)dx=2x,z^-1/2+y^2e^1/x+h(y,z)

Passo 7

Derivando essa expressão em relação a y e igualando a Q
partial Upartial y=2y e^1/x+partial hpartial y=2y e^1/x-2zy^3 Rightarrow partial hpartial y=-2z y^-3

Passo 8

Integrando em y:
h(y,z)=z y^-2+k(z)

Passo 9

Agora U=2x z^-1/2+y^2e^1/x+z y^-2+k(z). Fazendo partial U/partial z=R leva a k'(z)=0, ou seja k constante.

Passo 10

Chegamos assim no potencial (até constante):
U(x,y,z)=2xraizz+y^2e^1/x+zy^2+C

Resposta

U(x,y,z)=2x/raizz+y^2e^1/x+z/y^2+C, válido na região escolhida (por exemplo x>0,y>0,z>0).

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