Nos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime prime+y^prime prime+y^prime+y=e^-t+4 t

Passo 1

A questão pede a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo dado por exponencial e polinômio. O conteúdo é método dos coeficientes indeterminados para resolver
y''' + y'' + y' + y = e^-t + 4t
Vamos decompor a solução em parte homogênea e parte particular.

Passo 2

Para a parte homogênea associamos a equação característica
r^3 + r^2 + r + 1 = 0
Fatorando em grupos:
r^2(r + 1) + 1(r + 1) = (r + 1)(r^2 + 1) = 0
Logo as raízes são
r = -1,
r = i,
r = -i
Assim a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^-t + C2,cos t + C3,sin t

Passo 3

Para a parte particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é soma de exponencial e polinômio, escolhemos
yp(t) = yp1(t) + yp2(t)
com
yp1(t) = A,t,e^-t
(pois e^-t corresponde à raiz r=-1 de multiplicidade 1) e
yp2(t) = D,t + E
(polinômio de grau 1, sem ressonância em r=0).

Passo 4

Para yp1(t) = A t e^-t calculamos as derivadas:
yp1' = A e^-t(1 - t)
yp1'' = -A e^-t(2 - t)
yp1''' = A e^-t(3 - t)
Então
L[yp1] = yp1''' + yp1'' + yp1' + yp1 = 2A e^-t
Igualando a parte exponencial e^-t do lado direito, 2A e^-t = e^-t, vem
A = 12

Passo 5

Para yp2(t) = D t + E temos
yp2' = D,
yp2'' = 0,
yp2''' = 0
Logo
L[yp2] = yp2''' + yp2'' + yp2' + yp2 = D t + (D + E)
Igualando ao polinômio 4t, obtemos D = 4 e D + E = 0, ou seja E = -4.

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular. Logo:
y(t) = C1 e^-t + C2cos t + C3sin t + 12,t e^-t + 4t - 4

Resposta

y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 \cos t + C_3 \sin t + \tfrac12,t e^{-t} + 4t - 4

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