Nos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
A questão pede a solução geral da equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo dado por exponencial e polinômio. O conteúdo é método dos coeficientes indeterminados para resolver
Vamos decompor a solução em parte homogênea e parte particular.
Passo 2
Para a parte homogênea associamos a equação característica
Fatorando em grupos:
Logo as raízes são
Assim a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é soma de exponencial e polinômio, escolhemos
com
(pois
corresponde à raiz
de multiplicidade 1) e
(polinômio de grau 1, sem ressonância em
).
Passo 4
Para
calculamos as derivadas:
Então
Igualando a parte exponencial
do lado direito,
, vem
Passo 5
Para
temos
Logo
Igualando ao polinômio
, obtemos
e
, ou seja
.
Passo 6
A solução geral é a soma da homogênea com a particular. Logo:
Resposta
y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 \cos t + C_3 \sin t + \tfrac12,t e^{-t} + 4t - 4