Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
2 y^prime prime+3 y^prime+y=x^2+3 sen x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
2,y''+3,y'+y = x^2 + 3sin x
usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo envolve:
– Resolver a equação homogênea associada por meio da equação característica.
– Encontrar uma solução particular para a parte polinomial x^2.
– Encontrar outra solução particular para o termo trigonométrico 3sin x.
– Somar tudo para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea
2,y''+3,y'+y = 0
A equação característica é
2r^2+3r+1=0
Resolvendo,
r = -3pmraiz9-84 = -3pm14,
logo r1=-tfrac12 e r2=-1. Assim a solução homogênea é
yh(x) = C1e^-x/2 + C2e^-x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular para a parte polinomial x^2. Suponha
yp1(x)=Ax^2+Bx+C
Então
yp1' = 2Ax + B, yp1'' = 2A
Substituindo em 2y''+3y'+y
2,(2A) +3,(2Ax+B)+(Ax^2+Bx+C) = Ax^2 + (6A+B)x + (4A+3B+C)
Isso deve ser igual a x^2, pois o termo constante da parte polinomial é embutido nos ajustes posteriores com o trigonométrico. Igualando coeficientes:
A=1, 6A+B=0, 4A+3B+C=0
Daí A=1, B=-6 e 4+3(-6)+C=0implies C=14. Logo
yp1(x)=x^2-6x+14

Passo 4

Em seguida buscamos uma solução particular para 3sin x. Suponha
yp2(x)=Dcos x + Esin x
Calculamos
yp2' = -Dsin x + Ecos x, yp2'' = -Dcos x - Esin x
Substituindo em 2y''+3y'+y obtém-se
(-D+3E)cos x +(-3D -E)sin x = 3sin x
Igualando coeficientes de cos x e sin x:
-D+3E=0, -3D -E=3
Da primeira D=3E. Substituindo na segunda: -9E -E=3implies E=-tfrac310 e D=-tfrac910. Assim
yp2(x) = -tfrac910cos x ;-;tfrac310sin x

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com as particulares:
y(x) = yh(x) + yp1(x) + yp2(x) = C1e^-x/2 + C2e^-x + x^2 -6x +14 - tfrac910cos x - tfrac310sin x

Resposta

y(x) = C1e^-x/2 + C2e^-x + x^2 -6x +14 - 910cos x - 310sin x

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