Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
sen
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo envolve:
– Resolver a equação homogênea associada por meio da equação característica.
– Encontrar uma solução particular para a parte polinomial .
– Encontrar outra solução particular para o termo trigonométrico .
– Somar tudo para obter a solução geral.
– Resolver a equação homogênea associada por meio da equação característica.
– Encontrar uma solução particular para a parte polinomial
– Encontrar outra solução particular para o termo trigonométrico
– Somar tudo para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea
A equação característica é
Resolvendo,
logo
e
. Assim a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular para a parte polinomial
. Suponha
Então
Substituindo em
dá
Isso deve ser igual a
, pois o termo constante da parte polinomial é embutido nos ajustes posteriores com o trigonométrico. Igualando coeficientes:
Daí
,
e
. Logo
Passo 4
Em seguida buscamos uma solução particular para
. Suponha
Calculamos
Substituindo em
obtém-se
Igualando coeficientes de
e
:
Da primeira
. Substituindo na segunda:
e
. Assim
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com as particulares: