Sejam u=(1,-1,3), v=(2,1,3) e w=(-1,-1,4) vetores em R^3.
(i) Ache as coordenadas de u+v, u-v e u+2 v-3 w;
(ii) Calcule a norma dos vetores u+v, u-v e u+ 2 v-3 w;
(iii) Verifique se u é uma combinação linear de v e w;
(iv) Localize os vetores u, v, w, u+v, u-v e u+2 v-3 w no espaço R^3.

Passo 1

O enunciado pede operações com vetores em R^3, norma de vetores, combinação linear e representação geométrica. Vamos usar soma e subtração coordenada a coordenada para as operações, a definição de norma |vec x|=raizx1^2+x2^2+x3^2 e resolver um sistema linear para testar combinação linear.

Passo 2

Calculemos as somas e subtrações:
vec u + vec v = (1,-1,3)+(2,1,3) = (1+2,,-1+1,,3+3) = (3,0,6),
vec u - vec v = (1,-1,3)-(2,1,3) = (1-2,,-1-1,,3-3) = (-1,-2,0),
vec u + 2vec v - 3vec w = (1,-1,3)+2(2,1,3)-3(-1,-1,4)
Primeiro 2vec v=(4,2,6) e -3vec w=(3,3,-12), logo
vec u+2vec v-3vec w = (1+4+3,,-1+2+3,,3+6-12) = (8,4,-3)

Passo 3

Agora as normas:
|vec u+vec v| = raiz3^2+0^2+6^2 = raiz9+36 = raiz45 = 3raiz5,
|vec u-vec v| = raiz(-1)^2+(-2)^2+0^2 = raiz1+4 = raiz5,
|vec u+2vec v-3vec w| = raiz8^2+4^2+(-3)^2 = raiz64+16+9 = raiz89

Passo 4

Para ver se
Das duas primeiras equações vem , mas isso não satisfaz (daria ). Então não há solução.

Passo 5

Cada vetor corresponde ao ponto em R^3 dado por suas coordenadas, visto como origem to ponto:
vec urightarrow(1,-1,3),
vec vrightarrow(2,1,3),
vec wrightarrow(-1,-1,4),
vec u+vec vrightarrow(3,0,6),
vec u-vec vrightarrow(-1,-2,0),
vec u+2vec v-3vec wrightarrow(8,4,-3).

Resposta

(i) vec u+vec v=(3,0,6), vec u-vec v=(-1,-2,0), vec u+2vec v-3vec w=(8,4,-3).
(ii) |vec u+vec v|=3raiz5, |vec u-vec v|=raiz5, |vec u+2vec v-3vec w|=raiz89.
(iii) vec u não é combinação linear de vec v e vec w.
(iv) Os vetores estão nos pontos
,(1,-1,3),,(2,1,3),,(-1,-1,4),,(3,0,6),,(-1,-2,0),,(8,4,-3) em R^3.

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