Decida se os limites abaixo existem, e no caso de existir, calcule o valor desse limite. \lim _{\left(x_{1}, x_{2}\right) \rightarrow(0,0)} \frac{x_{2}^{4}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\,
A expressão é \dfrac{x_{2}^{4}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}.
O ponto para o qual (x_{1},x_{2}) tende é (0,0).
A função não está definida no ponto (0,0) (porque o denominador fica zero), por isso só faz sentido falar do limite quando (x_{1},x_{2})\neq(0,0) e nos aproximamos de (0,0).
A tarefa: decidir se o limite existe e, se existir, calcular o valor numérico.
Passo 2
Vamos fazer alguns testes de caminhos simples (isto serve só para ter intuição; não prova a existência do limite por si só).
Se aproximarmos por x_{1}=0 (ou seja, ao longo do eixo x_{2}), a expressão vira
Todos esses caminhos dão 0. Isso sugere que o limite pode ser 0, mas precisamos de um argumento que funcione para todas as direções (todos os caminhos) — vamos fazer isso agora.
Passo 3
Uma ferramenta muito útil é passar para coordenadas polares. Definimos
onde r\ge 0 e \theta é o ângulo. Ao aproximar (x_{1},x_{2}) para (0,0) isso corresponde a r\to 0 (o ângulo \theta pode variar livremente). Agora reescrevemos a expressão em função de r e \theta:
Observe que \sin^{4}\theta é sempre um número entre 0 e 1, isto é 0\le \sin^{4}\theta\le 1. Assim
0 \le r^{2}\sin^{4}\theta \le r^{2}.
Quando (x_{1},x_{2})\to(0,0) temos r\to 0, logo r^{2}\to 0. Pelo princípio do confronto (teorema do aperto, squeeze theorem), como a quantidade em questão está entre 0 e r^{2}, e ambos os limites das extremidades são 0, concluímos que
Isto mostra a definição de limite \varepsilon-\delta e confirma que o limite é 0.
Passo 6
Resumo final e incentivo: todos os caminhos testados deram 0 e a mudança para coordenadas polares com o argumento de comparação prova que a função é dominada por r^{2}, que tende a 0. Então o limite existe e é 0. Parabéns — você já tem duas maneiras de argumentar (caminhos para intuição e polar+aperte para prova rigorosa); isso é ótimo para a prova!