Decida se os limites abaixo existem, e no caso de existir, calcule o valor desse limite.
\lim _{\left(x_{1}, x_{2}\right) \rightarrow(0,0)} \frac{x_{2}^{4}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\,

Passo 1

O enunciado pede: decidir se existe o limite
\lim_{(x_{1},x_{2})\to(0,0)} \frac{x_{2}^{4}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{x_{2}^{4}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}.
  • O ponto para o qual (x_{1},x_{2}) tende é (0,0).
  • A função não está definida no ponto (0,0) (porque o denominador fica zero), por isso só faz sentido falar do limite quando (x_{1},x_{2})\neq(0,0) e nos aproximamos de (0,0).
    A tarefa: decidir se o limite existe e, se existir, calcular o valor numérico.

Passo 2

Vamos fazer alguns testes de caminhos simples (isto serve só para ter intuição; não prova a existência do limite por si só).
  • Se aproximarmos por x_{1}=0 (ou seja, ao longo do eixo x_{2}), a expressão vira
\frac{x_{2}^{4}}{0+x_{2}^{2}}=\frac{x_{2}^{4}}{x_{2}^{2}}=x_{2}^{2},
e \lim_{x_{2}\to 0} x_{2}^{2}=0.
  • Se aproximarmos por x_{2}=0 (eixo x_{1}), a expressão é
\frac{0}{x_{1}^{2}+0}=0,
logo o limite por esse caminho é 0.
  • Se aproximarmos por x_{1}=x_{2}=t, a expressão é
\frac{t^{4}}{t^{2}+t^{2}}=\frac{t^{4}}{2t^{2}}=\frac{t^{2}}{2}\to 0\quad\text{quando }t\to 0.
Todos esses caminhos dão 0. Isso sugere que o limite pode ser 0, mas precisamos de um argumento que funcione para todas as direções (todos os caminhos) — vamos fazer isso agora.

Passo 3

Uma ferramenta muito útil é passar para coordenadas polares. Definimos
r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},\qquad x_{1}=r\cos\theta,\qquad x_{2}=r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta é o ângulo. Ao aproximar (x_{1},x_{2}) para (0,0) isso corresponde a r\to 0 (o ângulo \theta pode variar livremente). Agora reescrevemos a expressão em função de r e \theta:
\frac{x_{2}^{4}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} = \frac{(r\sin\theta)^{4}}{r^{2}} = r^{2}\sin^{4}\theta.
Portanto, para qualquer \theta temos
\left|\frac{x_{2}^{4}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\right| = r^{2}\sin^{4}\theta.

Passo 4

Observe que \sin^{4}\theta é sempre um número entre 0 e 1, isto é 0\le \sin^{4}\theta\le 1. Assim
0 \le r^{2}\sin^{4}\theta \le r^{2}.
Quando (x_{1},x_{2})\to(0,0) temos r\to 0, logo r^{2}\to 0. Pelo princípio do confronto (teorema do aperto, squeeze theorem), como a quantidade em questão está entre 0 e r^{2}, e ambos os limites das extremidades são 0, concluímos que
\lim_{(x_{1},x_{2})\to(0,0)} r^{2}\sin^{4}\theta = 0.
Portanto o limite existe e vale 0.

Passo 5

Para deixar totalmente rigoroso no estilo \varepsilon- \delta: seja \varepsilon>0. Se tomarmos
\delta=\sqrt{\varepsilon},
então, sempre que \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}=r<\delta, temos
\left|\frac{x_{2}^{4}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\right| = r^{2}\sin^{4}\theta \le r^{2} < \delta^{2} = \varepsilon.
Isto mostra a definição de limite \varepsilon- \delta e confirma que o limite é 0.

Passo 6

Resumo final e incentivo: todos os caminhos testados deram 0 e a mudança para coordenadas polares com o argumento de comparação prova que a função é dominada por r^{2}, que tende a 0. Então o limite existe e é 0. Parabéns — você já tem duas maneiras de argumentar (caminhos para intuição e polar+aperte para prova rigorosa); isso é ótimo para a prova!

Resposta

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