- (5 pontos)
(a) Determine uma função potencial para o campo vetorial
;
(b) Calcule o trabalho realizado por uma partícula para andar pela curva
desde o ponto
até o ponto
, sub ação do campo vetorial
.
(a) Determine uma função potencial para o campo vetorial
(b) Calcule o trabalho realizado por uma partícula para andar pela curva
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Campo vetorial dado:
- Curva parametrizada dada:
- Perguntas:
(a) Determinar uma função potencial para(ou seja, uma função tal que ).
(b) Calcular o trabalho realizado ao percorrer a curvade até sob a ação do campo .
Passo 2
Explicação conceitual e estratégia:
- O que é função potencial? Uma função
é potencial de se Isso significa: Onde são as componentes de . - Quando
é um campo conservativo (tem potencial), a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos finais e iniciais, e vale - Como verificar se
é conservativo em ? Uma condição prática (quando as componentes têm derivadas parciais contínuas) é checar se o rotor (curl) é nulo: Vou calcular o rotor para confirmar que dá zero e assim justificar que existe função potencial global.
Passo 3
Calcular o rotor
. Escrevendo
,
,
:
- Primeiro componente do rotor:
Calcular as derivadas:
Portanto
Passo 4
Segunda e terceira componentes do rotor:
- Segunda componente:
Calcular:
Assim
- Terceira componente:
Calcular:
Portanto
Passo 5
Conclusão sobre conservatividade e plano de ataque:
- Como todas as componentes do rotor são zero,
, e as derivadas parciais são polinômios contínuos em toda . Logo é conservativo e existe uma função potencial definida globalmente. - Para encontrar
podemos integrar em relação a , introduzindo uma função “constante” de integração que depende de , e então determinar essa função comparando com e .
Passo 6
Integrar
em relação a
:
- Escrevendo
integrar em : onde é a “constante” de integração que pode depender de e .
Passo 7
Determinar
comparando
com
:
- Calcular
a partir da expressão obtida: - Mas sabemos que
deve ser igual a . Assim - Portanto
não depende de ; isto é, para alguma função só de .
Passo 8
Determinar
comparando
com
:
- Agora escrever
como - Calcular
: - Devemos ter
. Assim - Logo
é constante; seja .
Passo 9
Resultado final da parte (a):
- Uma função potencial (podemos escolher a constante
para simplicidade) é (qualquer com constante também é válida.)
Passo 10
Preparar solução da parte (b) usando o teorema fundamental para campos conservativos:
- Como
é conservativo e é potencial, o trabalho ao percorrer a curva de até é - Aqui
e . Vou calcular e , depois avaliar nesses pontos.
Passo 11
Calcular os pontos iniciais e finais:
Passo 12
Avaliar
em
e
:
-
Usando
, Avaliar em: Calcular passo a passo:
Portanto
- Avaliar em
:
Passo 13
Calcular o trabalho final usando a diferença de potenciais:
- Pelo teorema fundamental,
Resposta
(a)
(b)