1. (5 pontos)
    (a) Determine uma função potencial para o campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=\left(y^{2} z+2 x z^{2}, 2 x y z, x y^{2}+2 x^{2} z\right);
    (b) Calcule o trabalho realizado por uma partícula para andar pela curva r(t)=\left(\sqrt{t}, t+1, t^{2}\right) desde o ponto t=0 até o ponto t=2, sub ação do campo vetorial \mathbf{F}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Campo vetorial dado: \mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(y^{2}z+2xz^{2},\;2xyz,\;xy^{2}+2x^{2}z\bigr).
  • Curva parametrizada dada: r(t)=\bigl(\sqrt{t},\;t+1,\;t^{2}\bigr),\qquad 0\le t\le 2.
  • Perguntas:
    (a) Determinar uma função potencial para \mathbf{F} (ou seja, uma função \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}).
    (b) Calcular o trabalho realizado ao percorrer a curva r(t) de t=0 até t=2 sob a ação do campo \mathbf{F}.

Passo 2

Explicação conceitual e estratégia:
  • O que é função potencial? Uma função \varphi(x,y,z) é potencial de \mathbf{F} se \nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y,\phi_z)=\mathbf{F}=(P,Q,R).Isso significa: \phi_x=P,\qquad \phi_y=Q,\qquad \phi_z=R.Onde P,Q,R são as componentes de \mathbf{F}.
  • Quando \mathbf{F} é um campo conservativo (tem potencial), a integral de linha \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} entre dois pontos depende apenas dos pontos finais e iniciais, e vale \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\text{ponto final})-\varphi(\text{ponto inicial}).
  • Como verificar se \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^3? Uma condição prática (quando as componentes têm derivadas parciais contínuas) é checar se o rotor (curl) é nulo: \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.Vou calcular o rotor para confirmar que dá zero e assim justificar que existe função potencial global.

Passo 3

Calcular o rotor \nabla\times\mathbf{F}. Escrevendo P=y^{2}z+2xz^{2}, Q=2xyz, R=xy^{2}+2x^{2}z:
  • Primeiro componente do rotor: (\nabla\times\mathbf{F})_x=\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}.Calcular as derivadas: \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy^{2}+2x^{2}z\bigr)=2xy,
\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2xyz\bigr)=2xy.
Portanto
(\nabla\times\mathbf{F})_x=2xy-2xy=0.

Passo 4

Segunda e terceira componentes do rotor:
  • Segunda componente: (\nabla\times\mathbf{F})_y=\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}.Calcular: \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y^{2}z+2xz^{2}\bigr)=y^{2}+4xz,
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy^{2}+2x^{2}z\bigr)=y^{2}+4xz.
Assim
(\nabla\times\mathbf{F})_y=(y^{2}+4xz)-(y^{2}+4xz)=0.
  • Terceira componente: (\nabla\times\mathbf{F})_z=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.Calcular: \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xyz\bigr)=2yz,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}z+2xz^{2}\bigr)=2yz.
Portanto
(\nabla\times\mathbf{F})_z=2yz-2yz=0.

Passo 5

Conclusão sobre conservatividade e plano de ataque:
  • Como todas as componentes do rotor são zero, \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}, e as derivadas parciais são polinômios contínuos em toda \mathbb{R}^3. Logo \mathbf{F} é conservativo e existe uma função potencial \varphi definida globalmente.
  • Para encontrar \varphi podemos integrar \phi_x=P em relação a x, introduzindo uma função “constante” de integração que depende de y,z, e então determinar essa função comparando com Q e R.

Passo 6

Integrar \phi_x=P em relação a x:
  • Escrevendo \phi_x=y^{2}z+2xz^{2},integrar em x: \varphi(x,y,z)=\int\bigl(y^{2}z+2xz^{2}\bigr)\,dx = x y^{2} z + x^{2} z^{2} + h(y,z),onde h(y,z) é a “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 7

Determinar h(y,z) comparando \phi_y com Q:
  • Calcular \phi_y a partir da expressão obtida: \phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^{2} z + x^{2} z^{2} + h(y,z)\bigr)=2xyz + h_y(y,z).
  • Mas sabemos que \phi_y deve ser igual a Q=2xyz. Assim 2xyz + h_y(y,z)=2xyz \quad\Rightarrow\quad h_y(y,z)=0.
  • Portanto h não depende de y; isto é, h(y,z)=k(z) para alguma função k só de z.

Passo 8

Determinar k(z) comparando \phi_z com R:
  • Agora escrever \varphi como \varphi(x,y,z)=x y^{2} z + x^{2} z^{2} + k(z).
  • Calcular \phi_z: \phi_z=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x y^{2} z + x^{2} z^{2} + k(z)\bigr)=xy^{2}+2x^{2}z + k'(z).
  • Devemos ter \phi_z=R=xy^{2}+2x^{2}z. Assim xy^{2}+2x^{2}z + k'(z)=xy^{2}+2x^{2}z \quad\Rightarrow\quad k'(z)=0.
  • Logo k(z) é constante; seja k(z)=C.

Passo 9

Resultado final da parte (a):
  • Uma função potencial (podemos escolher a constante C=0 para simplicidade) é \varphi(x,y,z)=x y^{2} z + x^{2} z^{2}.(qualquer \varphi+C com C constante também é válida.)

Passo 10

Preparar solução da parte (b) usando o teorema fundamental para campos conservativos:
  • Como \mathbf{F} é conservativo e \varphi é potencial, o trabalho ao percorrer a curva r(t) de t=a até t=b é W=\int_{a}^{b}\mathbf{F}\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t)\,dt=\varphi\bigl(r(b)\bigr)-\varphi\bigl(r(a)\bigr).
  • Aqui a=0 e b=2. Vou calcular r(0) e r(2), depois avaliar \varphi nesses pontos.

Passo 11

Calcular os pontos iniciais e finais:
  • r(0)=\bigl(\sqrt{0},\,0+1,\,0^{2}\bigr)=(0,1,0).
  • r(2)=\bigl(\sqrt{2},\,2+1,\,2^{2}\bigr)=\bigl(\sqrt{2},\,3,\,4\bigr).

Passo 12

Avaliar \varphi em r(2) e r(0):
  • Usando \varphi(x,y,z)=x y^{2} z + x^{2} z^{2},
    Avaliar em r(2):
    \varphi\bigl(r(2)\bigr)=\varphi\bigl(\sqrt{2},3,4\bigr) =\bigl(\sqrt{2}\bigr)\cdot 3^{2}\cdot 4 + \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}\cdot 4^{2}.
    Calcular passo a passo:
    \bigl(\sqrt{2}\bigr)\cdot 3^{2}\cdot 4 = \sqrt{2}\cdot 9\cdot 4 =36\sqrt{2},
\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}\cdot 4^{2}=2\cdot 16 =32.
Portanto
\varphi\bigl(r(2)\bigr)=36\sqrt{2}+32.
  • Avaliar em r(0)=(0,1,0): \varphi\bigl(r(0)\bigr)=0\cdot 1^{2}\cdot 0 + 0^{2}\cdot 0^{2}=0.

Passo 13

Calcular o trabalho final usando a diferença de potenciais:
  • Pelo teorema fundamental, W=\varphi\bigl(r(2)\bigr)-\varphi\bigl(r(0)\bigr)=\bigl(36\sqrt{2}+32\bigr)-0=36\sqrt{2}+32.

Resposta

(a) \varphi(x,y,z)=x y^{2} z + x^{2} z^{2}
(b) W=36\sqrt{2}+32

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